BAC S COMPLEXE Amérique du Nord mai 2009

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.

Soit A le point d'affixe $a = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et B le point d'affixe $b = 1 - \sqrt{3} + \left(1 + \sqrt{3}\right)\text{i}$.

\textbf{Partie A : étude d'un cas particulier}

On considère la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.

On note C le point d'affixe $c$ image du point A par la rotation $r$ et D le point d'affixe $d$ image du point B par la rotation $r$.

La figure est donnée en annexe (figure 1).

Exprimer $\dfrac{- a}{b - a}$ sous forme algébrique.
En déduire que OAB est un triangle rectangle isocèle en A.

Démontrer que $c = -2$. On admet que $d = -2 - 2\text{i}$.

Montrer que la droite (AC) a pour équation $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+ 2)$.
Démontrer que le milieu du segment [BD] appartient à la droite (AC).

\textbf{Partie B : étude du cas général}

Soit $\theta$ un réel appartenant à l'intervalle $]0~;~2\pi[$. On considère la rotation de centre O et d'angle $\theta$.

On note A$'$ le point d'affixe $a'$, image du point A par la rotation $r$, et B$'$ le point d'affixe $b'$, image du point B par la rotation $r$.

La figure est donnée en annexe (figure 2).

L'objectif est de démontrer que la droite (AA$'$) coupe le segment [BB$'$] en son milieu.

Exprimer $a'$ en fonction de $a$ et $\theta$ et $b'$ en fonction de $b$ et $\theta$.
Soit P le point d'affixe $p$ milieu de [AA$'$] et Q le point d'affixe $q$ milieu de [BB$'$].

Exprimer $p$ en fonction de $a$ et $\theta$ puis $q$ en fonction de $b$ et $\theta$.
Démontrer que $\dfrac{-p}{q - p} = \dfrac{- a}{b - a}$.
En déduire que la droite (OP) est perpendiculaire à la droite (PQ).
Démontrer que le point Q appartient à la droite (AA$'$).