BAC S COMPLEXE NlleCaledonie_mars 2009

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On considère les points A et B d' affixes respectives $z_{\text{A}} = 1$ et $z_{\text{B}} = 3 + 4\text{i}$.

Soit C et D les points d'affixes respectives $z_{\text{C}} = 2\sqrt{3} + \text{i}(- 2 - \sqrt{3})$ et

$z_{\text{D}} = -2\sqrt{3} + \text{i}( -2 + \sqrt{3})$.

L' objet de l'exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C.

Montrer que l'image du point B par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ est le point D.
En déduire que les points B et D sont sur un cercle $\mathcal{C}$ de centre A dont on déterminera le rayon.

Soit F, l'image du point A par l'homothétie de centre B et de rapport $\dfrac{3}{2}$.

Montrer que l'affixe $z_{\text{F}}$ du point F est $-2\text{i}$.
Montrer que le point F est le milieu du segment [CD].
Montrer que $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{F}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{F}}} = - \text{i}\sqrt{3}$. En déduire la forme exponentielle de $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{F}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{F}}}$.

Déduire des questions précédentes que la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD].

Proposer un programme de construction pour les points D et C à partir des points A, B et F et réaliser la figure.

{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l 'évaluation.}

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{AmeriqueSud_dec2008}{}
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{\textbf{Amérique du Sud décembre 2008}}

\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_dec2008_retour}{Retour au tableau}

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé \Ouv, on considère les points A, B, C d'affixes respectives $a = - 1 + 2\text{i},~b = 1 + 3\text{i},~c = 4\text{i}$.

Montrer que le triangle ABC est isocèle en A.

Soit I le milieu de [BC] et $z_{\text{I}}$ son affixe.

Quel est l'ensemble des points $M$ du plan distincts de A dont l'affixe $z$ est telle que $\dfrac{z - z_{\text{I}}}{z - a}$ soit un réel ?
Déterminer l'unique réel $x$ tel que $\dfrac{x - z_{\text{I}}}{x - a}$ soit un réel.
Soit $z_{\overrightarrow{\text{AI}}}$ l'affixe du vecteur $\overrightarrow{\text{AI}}$, donner une forme trigonométrique de $z_{\overrightarrow{\text{AI}}}$.

Soit G le point d'affixe $-3$. Montrer qu'il existe deux rotations de centre G, dont on déterminera les angles, telles que les images de A et I par ces rotations soient toutes deux sur l'axe des réels.
Soit $r_{1}$ la rotation de centre G et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{4}$.

Déterminer l'écriture complexe de $r_{1}$.

Soit A$'$, B$'$ et C$'$ les images respectives de A, B, et C par la rotation $r_{1}$ ; soient $a',~ b'$ et $c'$ leurs affixes.

Quelle est l'image par $r_{1}$ de l'axe de symétrie du triangle ABC ?

En déduire que $b' = \overline{c'}$.