BAC S COMPLEXE Calédonie novembre 2008

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv.

On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2 + 2\text{i},~ z_{\text{B}} = 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} = 2$ ainsi que le cercle $\Gamma$ de centre A et de rayon 2.

La droite (OA) coupe le cercle $\Gamma$ en deux points H et K tels que OH $

Faire une figure en prenant 1~cm comme unité graphique.
Calculer la longueur OA. En déduire les longueurs OK et OH.
Justifier, à l'aide des notions de module et d'argument d'un nombre complexe, que

\[z_{\text{K}} = \left(2\sqrt{2}+2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \quad z_{\text{H}} = \left(2\sqrt{2}- 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}.\]

\textbf{Dans toute la suite}, on considère l'application $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 0$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = \dfrac{-4}{z}.\]

Déterminer et placer les points images de B et C par $f$.

On dit qu'un point est invariant par $f$ s'il est confondu avec son image.

Déterminer les points invariants par $f$.

Montrer que pour tout point $M$ distinct de O, on a :
\[\text{O}M \times \text{O}M' = 4.\]

Déterminer arg$\left(z'\right)$ en fonction de arg$(z)$.

Soient K$'$ et H$'$ les images respectives de K et H par $f$.

Calculer OK$'$ et OH$'$.

Démontrer que $z_{\text{K}'} = \left(2\sqrt{2} - 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_{\text{H}'} = \left(2\sqrt{2} + 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$.

Expliquer comment construire les points K$'$ et H$'$ en utilisant uniquement la règle et le compas à partir des points K et H. Réaliser la construction.