BAC S COMPLEXE Metropole_sept 2008

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.

On réalisera une figure en prenant 2~cm comme unité graphique sur chaque axe.

On considère les points A, B et I d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1,~z_{\text{B}} = 5$ et $z_{\text{I}} = 3 + \text{i}$.

On note ($\mathcal{C}$) le cercle de centre O et de rayon $1$, ($\Delta$) la médiatrice de [AB] et (T) la tangente au cercle
($\mathcal{C}$) en A.

À tout point $M$ d'affixe $z$, différent de A, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = \dfrac{z - 5}{z - 1}.\]

Le point $M'$ est appelé l'image de $M$.

\textbf{Partie A}

Déterminer sous forme algébrique l'affixe du point I$'$ image de I.

Vérifier que I$'$ appartient à ($\mathcal{C}$).

Justifier que pour tout point $M$ distinct de A et B, on a : O$M' = \dfrac{M\text{B}}{M\text{A}}$.
Justifier que pour tout point $M$ distinct de A et B, on a :\\ $\left(\overrightarrow{\text{OA}},~\overrightarrow{\text{O}M'}\right) = \left(\overrightarrow{M\text{A}},~\overrightarrow{M\text{B}}\right)$.

\textbf{Partie B}

{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Dans la suite de l'exercice, $M$ désigne un point quelconque de ($\Delta$). On cherche à construire géométriquement son image $M'$.

Démontrer que $M'$ appartient à ($\mathcal{C}$).

On note ($d$) la droite symétrique de la droite (A$M$) par rapport à la tangente (T). ($d$) recoupe ($\mathcal{C}$) en $N$.

Justifier que les triangles A$M$B et AO$N$ sont isocèles.

Après avoir justifié que $\left(\overrightarrow{\text{AO}},~\overrightarrow{\text{A}N}\right) = \left(\overrightarrow{\text{A}M},~\overrightarrow{\text{AB}}\right)$ démontrer que

$\left(\overrightarrow{\text{OA}},~\overrightarrow{\text{O}N}\right) = \left(\overrightarrow{M\text{A}},~\overrightarrow{M\text{B}}\right)$.
En déduire une construction de $M'$.