BAC S COMPLEXE Antilles 2008

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation díinconnue $z$ :

\[z^2 - 2\sqrt{3}z + 4 = 0.\]

On considère les points A d'affixe $z_{\text{A}} = \sqrt{3} - \text{i}$, B d'affixe $z_{\text{B}} = \sqrt{3} + \text{i}$ et C le milieu de [OB] d'affixe $z_{\text{C}}$.

Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$.
Sur une figure, placer les points A, B et C, en prenant 2~cm pour unité.
Montrer que le triangle OAB est équilatéral.

Soit D l'image de C par la rotation $r$ de centre O, d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et E l'image de D par la translation $t$ de vecteur $2\overrightarrow{v}$.

Placer les points D et E sur une figure.
Montrer que l'affixe $z_{\text{E}}$ du point E vérifie : $z_{\text{E}} = \dfrac{1}{2}\left[1 + \text{i}\left(4 - \sqrt{3}\right)\right]$.
Montrer que OE = BE $ = \sqrt{5 - 2\sqrt{3}}$.

Montrer que les points A, C et E sont alignés.

{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}