BAC S COMPLEXE Polynesie_juin 2008

Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation

\[z^2 - 6z + 13 = 0.\]

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{}
d'unité graphique 1~cm. On considère les points A, B, C d'affixes respectives

$a = 3 - 2\text{i},{} b = 3 + 2\text{i}, {}c = 4\text{i}$.
Faire une figure et placer les points A, B, C.
Montrer que OABC est un parallélogramme.
Déterminer l'affïxe du point $\Omega $, centre du parallélogramme OABC.
Déterminer et tracer l'ensemble des points $M$ du plan tels que

$\left\| \overrightarrow{M\text{O}} + \overrightarrow{M\text{A}} + \overrightarrow{M\text{B}} + \overrightarrow{M\text{C}} \right\| = 12$.
Soit $M$ un point de la droite (AB). On désigne par $\beta $
la partie imaginaire de l'affixe du point $M$. On note $N$ l'image du point $M$ par la rotation de centre $\Omega $ et d'angle $\dfrac{\pi }{2}$.

Montrer que $N$ a pour affixe $\dfrac{5}{2} - \beta + \dfrac{5}{2}\text{i}$.
Comment choisir $\beta $ pour que $N$ appartienne à la droite (BC) ?