BAC S COMPLEXE Centres étrangers juin 2008

Le plan complexe est rapporté au repère orthonornial direct \Ouv ; l'unité graphique est 1~cm.

Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation:
\[z^2 + 4z + 8 = 0.\]
On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
On note A et B les points du plan d'affixes respectives : $a = 2 - 2\text{i}$ et $b = -a$. Placer ces points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice.

Déterminer l'affixe $c$ du point C, image du point B par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$
On note D l'image de C par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ ; démontrer que l'affixe $d$
du point D est $d =2 - 6\text{i}$.
Placer les points C et D sur le graphique Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

$\alpha$ étant un nombre réel non nul, on désigne par $G_{\alpha}$, le barycentre du système :
\[\left\{(\text{A}~;~ 1)~;~(\text{B}~;~ -1)~ ;~(\text{C}~;~\alpha)\right\}.\]

Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\text{C}G_{\alpha}}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{\text{BA}}.$
En déduire l'ensemble des points $G_{\alpha}$ lorsque $\alpha$ décrit l'ensemble des réels non nuls. Construire cet ensemble.
Pour quelle valeur de $\alpha$ a-t-on $G_{\alpha} =$ D ?

On suppose dans cette question que $\alpha = 2$.

{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse,
sera prise en compte dans l'évaluation.}

Déterminer et construire l'ensemble des points $M$ du plan tels que :
\[\left\|\overrightarrow{M\text{A}} - \overrightarrow{M\text{B}} + 2\overrightarrow{M\text{C}}\right\| = 4\sqrt{2}.\]