BAC S COMPLEXE Métropole juin 2008

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 1~cm).

Soient A, B et I les points d'affixes respectives 1 + i, $3 - \text{i}$ et 2.

À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que

\mbox{$z' = z^2 - 4z$}. Le point $M'$ est appelé l'image de $M$.

Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l'exercice.
Calculer les affixes des points A$'$ et B$'$, images respectives des points A et B. Que remarque-t-on ?
Déterminer les points qui ont pour image le point d'affixe $- 5$.

Vérifier que pour tout nombre complexe $z$, on a : $z' + 4 = (z - 2)^2$.
En déduire une relation entre $\left|z' + 4\right|$ et $|z - 2|$ et, lorsque $z$ est différent de 2, une relation entre
arg$\left(z' +4\right)$ et arg $(z - 2)$,
Que peut-on dire du point $M'$ lorsque $M$ décrit le cercle $\mathcal{C}$ de centre I et de rayon 2 ?

Soient E le point d'affixe $2+ 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$, J le point d'affixe $-4$ et E$'$ l'image de E.

Calculer la distance IE et une mesure en radians de l'angle $\left(\overrightarrow{u}~; \overrightarrow{\text{IE}}\right)$.
Calculer la distance JE$'$ et une mesure en radians de l'angle $\left(\overrightarrow{u}~; \overrightarrow{\text{JE}'}\right)$.
Construire à la règle et au compas le point E$'$ ; on laissera apparents les traits de construction.