BAC S COMPLEXE Asie juin 2008

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour le dessin : $\left\|\overrightarrow{u}\right\| = 4$~cm.

$M$ est un point d'affixe $z$ non nul. On désigne par $M'$ le point d'affixe $z'$ telle que
\[z'= -\dfrac{1}{\overline{z}}.\]
où $\overline{z}$ désigne le conjugué du nombre complexe $z$.

\textbf{A - Quelques propriétés}

Soit $z$ un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de $z$ et $z'$ puis une relation entre les arguments de $z$ et $z'$.
Démontrer que les points O, $M$ et $M'$ sont alignés.
Démontrer que pour tout nombre complexe $z$ non nul on a l'égalité :

$\overline{z' + 1} =\dfrac{1}{z}(z - 1)$.

\textbf{B - Construction de l'image d'un point}

On désigne par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et $-1$.

On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie : $|z - 1| = 1$.

Quelle est la nature de l'ensemble $\mathcal{C}$ ?

Soit $M$ un point de $\mathcal{C}$ d'affixe $z$, distinct du point O.

Démontrer que $\left|z '+ 1\right| = \left|z'\right|$. Interpréter géométriquement cette égalité.
Est-il vrai que si $z'$ vérifie l'égalité : $\left|z '+ 1\right| = \left|z'\right|$, alors $z$ vérifie l'égalité :

$|z - 1| = 1$ ?

Tracer l'ensemble $\mathcal{C}$ sur une figure. Si $M$ est un point de $\mathcal{C}$, décrire et réaliser la construction du point $M'$.