BAC S COMPLEXE Antilles--Guyane juin 2008

La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l'exercice.

\textbf{Cette feuille est à rendre avec la copie.}

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, le point A a pour affixe i.

On nomme $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ avec $z\neq \text{i}$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
\[z' = \dfrac{-z^2}{z - \text{i}}\]
Le but de l'exercice est de construire géométriquement le point $M'$ connaissant le point $M$.

\textbf{Un exemple}

On considère le point K d'affixe $1+\text{i}$.

Placer le point K.
Déterminer l'affixe du point K$'$ image de K par $f$.
Placer le point K$'$.

\textbf{Des points pour lesquels le problème ne se pose pas}

On considère le point L d'affixe $\dfrac{\text{i}}{2}$. Déterminer son image L$'$ par $f$. Que remarque-t-
on ?
Un point est dit invariant par $f$ s'il est confondu avec son image.

Démontrer qu'il existe deux points invariants par $f$ dont on déterminera les affixes.

\textbf{Un procédé de construction}

On nomme $G$ l'isobarycentre des points A, $M$, et $M'$, et $g$ l'affixe de $G$.

Vérifier l'égalité $g = \dfrac{1}{3(z - \text{i} )}$.
En déduire que : si $M$ est un point du cercle de centre A de rayon $r$ , alors G est un point du cercle de centre O de rayon $\dfrac{1}{3r}$.
Démontrer que arg $g = - \left(\overrightarrow{u}~ ;~\overrightarrow{\text{A}M}\right)$.
Sur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de centre A et de rayon $\dfrac{1}{2}.$

On nomme D$'$ l'image de D par $f$ . Déduire des questions précédentes la construction du point D$'$ et la réaliser sur \textbf{la figure annexe à rendre avec la copie.}