BAC S COMPLEXE TERMINALE S

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. On note $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$. On considère le point A, d'affixe $z_{\text{A}} = - \sqrt{3}+ \text{i}$, le point A$_{1}$ d'affixe $z_{\text{A}_{1}} = \overline{z_{\text{A}}}$ où $\overline{z_{\text{A}}}$ désigne le conjugué de $z_{\text{A}}$. On note enfin B image du point A$_{1}$ par la rotation $r$ et $z_{\text{B}}$ l'affixe du point 8. Écrire le nombre complexe $z_{\text{A}}$ sous forme exponentielle, puis placer les points A et A$_{1}$, dans le repère. On prendra 2~cm comme unité graphique. Vérifier que $z_{\text{B}} = 2\text{e}^{- \frac{2\text{i}\pi}{3}}$ sous forme exponentielle, puis écrire le nombre complexe $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique. Placer alors le point B dans le même repère. On considère le vecteur unitaire $ \overrightarrow{w} $, tel que $ \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{w}\right) = \dfrac{\pi}{12}$, et la droite $\Delta$ passant par O et de vecteur directeur $\overrightarrow{w}$. Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O. Tracer la droite $\Delta$, puis démontrer que $\Delta$ est la bissectrice de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{OA}},~ \overrightarrow{\text{OB}}\right)$. En déduire que les points A et B sont symétriques par rapport à la droite $\Delta$. } On note B$_{1}$ le symétrique de B par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u}\right)$ et B$'$ l'image de B$_{1}$ par la rotation $r$. Démontrer que B$'$ = A. {Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.} Soit C le point d'affixe $\sqrt{2}(1 + \text{i})$ et D le symétrique de C par rapport à la droite $\Delta$. Construire les points C et D, puis calculer l'affixe du point D Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$,. On appelle $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ différente de $- 1$, fait correspondre le point $M'$ d'affixe $\dfrac{1}{z + 1}$. Le but de l'exercice est de déterminer l'image par $f$ de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x = - \dfrac{1}{2}$. Soient A, B et C les points d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = - \dfrac{1}{2},\quad z_{\text{B}} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{C}} = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \text{i}.\] Placer les trois points A, B et C sur une figure que l'on fera sur la copie en prenant 2~cm pour unité graphique. Calculer les affixes des points A$' = f(\text{A}), \text{B}' = f(\text{B})$ et C$' = f$(C) et placer les points A', B'et C' sur la figure. Démontrer que les points A$'$, B$'$ et C$'$ ne sont pas alignés. Soit $g$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M_{1}$ d'affixe $z + 1$. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$. Sans donner d'explication, placer les points A$_{1}$, B$_{1}$ et C$_{1}$, images respectives par $g$ de A, B et C et tracer la droite $\mathcal{D}_{1}$, image de la droite $\mathcal{D}$ par $g$. Démontrer que $\mathcal{D}_{1}$ est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z - 1| = |z|$. Soit $h$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, associe le point $M_{2}$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$. Justifier que $h\left(\text{A}_{1}\right) = \text{A}', h\left(\text{B}_{1}\right) = \text{B}'$ et $h \left(\text{C}_{1}\right) = \text{C}'$. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul $z$, on a : \[\left|\dfrac{1}{z} - 1\right| = 1 \iff |z - 1| = |z|.\] En déduire que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est incluse dans un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure. On admet que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est le cercle $\mathcal{C}$ privé de O. Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $\mathcal{D}$.