BAC S COMPLEXE AmeriqueNord_juin2008

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{}unité graphique : $4$~cm.

On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 2 + \text{i}$ et le cercle ($\Gamma$) de centre A et de rayon $\sqrt{2}$.

Faire une figure qui sera complétée tout au long de l'exercice.

Déterminer les affixes des points d'intersection de ($\Gamma$) et de l'axe $\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u}\right)$.
On désigne par B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{B}} = 1$ et $z_{\text{C}} = 3$.

Déterminer l'affixe $z_{\text{D}}$ du point D diamétralement opposé au point B sur le cercle ($\Gamma$).

Soit M le point d'affixe $\dfrac{3}{5} + \dfrac{6}{5}\text{i}$.

Calculer le nombre complexe $\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{M}}}{z_{\text{B}} - z_{\text{M}}}$.

Interpréter géométriquement un argument du nombre $\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{M}}}{z_{\text{B}} - z_{\text{M}}}$ ; en déduire que le point M appartient au cercle ($\Gamma$).

On note ($\Gamma'$) le cercle de diamètre [AB].

La droite (BM) recoupe le cercle ($\Gamma'$) en un point N.

Montrer que les droites (DM) et (AN) sont parallèles.
Déterminer l'affixe du point N.

On désigne par M$'$ l'image du point M par la rotation de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.

Déterminer l'affixe du point M$'$.
Montrer que le point M$'$ appartient au cercle ($\Gamma'$).