BAC S COMPLEXE Pondichéry avril 2008

\textbf{Partie A}

On suppose connus les résultats suivants :

Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes $z_{A},~z_{B}$ et $z_{C}$ trois points $A,~ B$ et $C$.

Alors $\left|\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}} \right|= \dfrac{CB}{CA}$ et arg$\left(\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}} \right) = \left(\overrightarrow{CA},~\overrightarrow{CB} \right) \quad (2\pi)$.
Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un réel :

$z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ si et seulement si $|z| =1$ et arg$(z) = \theta + 2k\pi$, où $k$ est un entier relatif.

{Démonstration de cours} : démontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que

\[z' - \omega = \text{e}^{\text{i}\alpha}(z - \omega).\]

\textbf{Partie B}

Dans un repère orthonormal direct du plan complexe \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm, on considère les points $A,~ B,~ C$ et $D$ d'affixes respectives
\[z_{A} = -\sqrt{3} - \text{i},~ z_{B} = 1 - \text{i}\sqrt{3},~ z_{C} = \sqrt{3} + \text{i}~\text{et}~z_{D} = - 1 +\text{i}\sqrt{3}.\]

Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombres complexes $z_{A},~z_{B},~z_{C}$ et $z_{D}$.
Comment construire à la règle et au compas les points $A,~ B,~ C$ et $D$ dans le repère \Ouv{} ?
Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?

On considère la rotation $r$ de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. Soient $E$ et $F$ les points du plan définis par :
$E = r(A)$ et $F = r(C)$.

Comment construire à la règle et au compas les points $F$ et $E$ dans le repère précédent ?
Donner l'écriture complexe de $r$.
Déterminer l'affixe du point $E$.