BAC S COMPLEXE NlleCaledonie_dec 2007

Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

{Une réponse exacte rapporte $0,5$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O.

Une solution de l'équation $2z + \overline{z} = 9 + \text{i}$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.} $3$& \textbf{b.} i& \textbf{c.} $3 + \text{i}$\\
\end{tabularx}

Soit $z$ un nombre complexe ; $|z + \text{i}|$ est égal à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.} $|z| + 1$& \textbf{b.} $|z - 1|$& \textbf{c.} $|\text{i}\overline{z} + 1|$\\
\end{tabularx}

Soit $z$ un nombre complexe non nul d'argument $\theta$. Un argument de $\dfrac{-1 + \text{i}\sqrt{3}}{\overline{z}}$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.} $- \dfrac{\pi}{3} + \theta$& \textbf{b.} $ \dfrac{2\pi}{3} + \theta$& \textbf{c.} $ \dfrac{2\pi}{3} - \theta$\\
\end{tabularx}

Soit $n$ un entier naturel. Le complexe $\left(\sqrt{3} + \text{i} \right)^n$ est un imaginaire pur si et seulement si :

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.} $n = 3$& \textbf{b.}$n = 6k + 3$, avec $k$ relatif& \textbf{c.} $n = 6k$ avec $k$ relatif\\
\end{tabularx}

Soient A et B deux points d'affixe respective i et $-1$. l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z - \text{i}| = |z + 1|$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.} la droite (AB)& \textbf{b.} le cercle de diamètre [AB]& \textbf{c.} la droite perpendiculaire à (AB) passant par O\\
\end{tabularx}

Soit $\Omega$ le point d'affixe $1 - \text{i}$. L'ensemble des points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ vérifiant $|z - 1 + \text{i}| = |3 - 4\text{i}|$ a pour équation :

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.} $y = -x + 1$& \textbf{b.} $(x - 1)^2 + y^2 = \sqrt{5}$& \textbf{c.} $z = 1 - \text{i} + 5\text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $\theta$ réel\\
\end{tabularx}

Soient A et B les points d'affixes respectives $4$ et $3\text{i}.$ L'affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec $\left(\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.} $1 - 4\text{i}$& \textbf{b.} $-3\text{i}$& \textbf{c.} $7 + 4\text{i}$\\
\end{tabularx}

L'ensemble des solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $\dfrac{z - 2}{z - 1} = z$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.} $\{1 - \text{i}\}$& \textbf{b.} L'ensemble vide& \textbf{c.} $\{1 - \text{i}~;~1 + \text{i}\}$\\
\end{tabularx}