BAC S COMPLEXE AmeriqueSud_nov2006

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. On prendra pour unité graphique 1 cm.

{Question de cours}

On rappelle que : \og Pour tout vecteur $\overrightarrow{w}$ non nul, d'affixe
$z$ on a :

$|z|= \|\overrightarrow{w}\|$ et arg $(z) = \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{w}\right)$ \fg.
Soient $M,~ N$ et $P$ trois points du plan, d'affixes respectives $m,~ n$ et $p$ tels que $m \neq n$ et $m \neq p$.

Démontrer que : arg $\left(\dfrac{p - m}{n - m}\right) = \left(\overrightarrow{MN},~\overrightarrow{MP}\right)$.
Interpréter géométriquement le nombre $\left|\dfrac{p - m}{n - m} \right|$

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives
\[z_{\text{A}} = 4 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 1+ \text{i}, \quad z_{\text{C}} = 5\text{i}~ \text{et}~z_{\text{D}} = -3 -\text{i}.\]
Placer ces points sur une figure.
Soit $f$ l'application du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel
que :
\[z' = (1 +2\text{i})z - 2 -4\text{i}.\]

Préciser les images des points A et B par $f$.
Montrer que $f$ admet un unique point invariant $\Omega$, dont on précisera l'affixe $\omega$.

Montrer que pour tout nombre complexe $z$, on a :

\[z'-z = -2\text{i}(2 - \text{i} - z).\]

En déduire, pour tout point $M$ différent du point $\Omega$, la valeur de $\dfrac{MM'}{\Omega M}$ et une mesure en radians de l'angle $\left(\overrightarrow{M \Omega},~\overrightarrow{MM'}\right)$
Quelle est la nature du triangle $\Omega MM'$ ?
Soit E le point d'affixe $z_{\text{E}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$. Écrire $z_{\text{E}}$ sous forme exponentielle puis placer le point E sur la figure. Réaliser ensuite la construction du point E$'$ associé au point E.