BAC S COMPLEXE Métropole septembre 2006

Dans le plan complexe muni du repère orthonormal \Ouv, on considère les points $M$ et $M'$ d'affixes respectives $z$ et $z'$. On pose $z = x + \mathrm{i}y$ et $z' = x' + \mathrm{i}y'$, où $x,~x',~y,~y'$ sont des. nombres réels.
On rappelle que $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$ et que $|z|$ désigne le module de $z$.

Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{\text{O}M}$ et $\overrightarrow{\text{O}M'}$ sont orthogonaux si et seulement si Re($z'\overline{z}) = 0$ .

Montrer que les points O, $M$ et $M'$ sont alignés si et seulement si lm($z'\overline{z}) = 0$.

\textbf{Applications}

$N$ est le point d'affixe $z^2-1$. Quel est l'ensemble des points $M$ tels que les vecteurs $\overrightarrow{\text{O}M}$ et $\overrightarrow{\text{O}N}$ soient orthogonaux ?

On suppose $z$ non nul. $P$ est le point d' affixe $\dfrac{1}{z^2}-1$.
On recherche l'ensemble des points $M$ d'affixe z tels que les points O, $N$ et $P$ soient alignés.

Montrer que $\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)\left(\overline{z^2-1}\right)=-\overline{z}^2\left|\dfrac{1}{z^2}-1\right|^2$.

En utilisant l'équivalence démontrée au début de l'exercice, conclure sur l'ensemble recherché.