BAC S COMPLEXE Polynésie juin 2006

Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct \Ouv{} ; unité graphique 2 cm.
On appelle A et B les points du plan d'affixes respectives $a = 1$ et $b= - 1$.
On considère l'application $f$ qui, à tout point $M$ différent du point B, d'affixe $z$, fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par
\[z' = \dfrac{z - 1}{z+1}\]

{On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice.}

Déterminer les points invariants de$f$ c'est-à-dire les points $M$ tels que $M =f(M)$.

Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de
$-1,$

$ \left(z'- 1\right) (z + 1) = - 2$.
En déduire une relation entre $\left|z' - 1\right|$ et $|z + 1|$ , puis entre arg$(z' - 1)$ et arg$(z + 1)$, pour tout nombre complexe $z$ différent de $-1$.
Traduire ces deux relations en termes de distances et d'angles.

Montrer que si $M$ appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2, alors $M'$ appartient au cercle (C$'$) de centre A et de rayon 1.
Soit le point P d'affixe $p =-2 + \text{i}\sqrt{3}$.

Déterminer la forme exponentielle de $(p + 1)$.
Montrer que le point P appartient au cercle (C).
Soit $Q$ le point d'affixe $q = - \overline{p}$ où $\overline{p}$ est le conjugué de $p$.
Montrer que les points A, P$'$ et Q sont alignés.
En utilisant les questions précédentes, proposer une construction de l'image P$'$ du point P par l'application $f$.