BAC S COMPLEXE Reunion_juin 2006

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 2~cm.

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $+ \dfrac{\pi}{2}$.

On réalisera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.

Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation $\dfrac{z - 4}{z} = \text{i}$. Écrire la solution sous forme algébrique.
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z2 - 2z + 4 = 0$. Écrire les solutions sous forme exponentielle.
Soient A, B, A$'$ et D les points du plan complexe d'affixes respectives :

\[ a = 2, \qquad b = 4, \qquad a' = 2\text{i}\quad \text{et} \quad d = 2 + 2\text{i}.\]

Quelle est la nature du triangle ODB ?
Soient E et F les points d'affixes respectives $e = 1 - \text{i}\sqrt{3}$ et $f = 1 + \text{i}\sqrt{3}$.

Quelle est la nature du quadrilatère OEAF?
Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon 2. Soit $\mathcal{C}'$ le cercle de centre A$'$ et de rayon 2.
Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $+ \dfrac{\pi}{2}$

On désigne par E$'$ l'image par la rotation $r$ du point E. Calculer l'affixe $e'$ du point E$'$.
Démontrer que le point E$'$ est un point du cercle $\mathcal{C}'$.
Vérifier que : $e - d = \left(\sqrt{3} + 2\right) \left(e' - d\right)$. En déduire que les points E, E$'$ et D sont alignés.

Soit D$'$ l'image du point D par la rotation $r$. Démontrer que le triangle EE$'$D$'$ est rectangle.