BAC S COMPLEXE Métropole juin 2006

On considère le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Dans tout l'exercice, $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ désigne le plan $\mathcal{P}$ privé du point origine O.

\textbf{Question de cours}
On prend comme pré-requis les résultats suivants :
\begin{ize}
Si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes non nuls, alors :

arg$(zz') = \text{arg}(z) + \text{arg}(z')$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif
Pour tout vecteur $\overrightarrow{w}$ non nul d'affixe $z$ on a : arg$(z) = \left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{w}\right)$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif
\end{ize}

Soit $z$ et $z'$ des nombres complexes non nuls, démontrer que

arg$\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \text{arg}(z)- \text{arg}(z')$ à $2k\pi$
près, avec $k$ entier relatif.
Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d'affixes respectives $a,~ b,~ c$, on a : arg$\left(\dfrac{c - a}{b - a}\right) = \left(\overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AC}}\right)$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif.

On considère l'application $f$ de $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ dans $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ qui, au point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : $z'= \dfrac{1}{\overline{z}}$. On appelle U et V les points du plan d'affixes respectives $1$ et i.

Démontrer que pour $z \neq 0$, on a arg$\left(z'\right) = \text{arg}(z)$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif.
En déduire que, pour tout point $M$ de $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ les points $M$ et $M' = f(M)$ appartiennent à une même demi-droite d'origine O.
Déterminer l'ensemble des points $M$ de $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ tels que $f(M) = M$.
$M$ est un point du plan $\mathcal{P}$ distinct de O, U et V, on admet que $M'$ est aussi distinct de O, U et V.

Établir l'égalité $\dfrac{z' - 1}{z' - \text{i}}= \dfrac{1}{\text{i}}\left(\dfrac{\overline{z} - 1}{\overline{z} + \text{i}} \right) = -\text{i}\overline{\left(\dfrac{z - 1}{z - \text{i}} \right)}$.

En déduire une relation entre arg$\left(\dfrac{z' - 1}{z' - \text{i}}\right)$ et arg$\left(\dfrac{z - 1}{z - \text{i}} \right)$

Soit $z$ un nombre complexe tel que $z \neq 1$ et $z \neq \text{i}$ et soit $M$ le point d'affixe $z$. Démontrer que $M$
est sur la droite (UV) privée de U et de V si et seulement si $\dfrac{z - 1}{z - \text{i}}$ est un nombre réel non nul.
Déterminer l'image par $f$ de la droite (UV) privée de U et de V.