BAC S COMPLEXE Antilles Guyane juin 2012

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct$\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2~cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions.

On considère les points $A$, $B$ et $C$ du plan complexe d'affixes respectives:
\[
a=-1+2\text{i}\quad;\qquad
b=-2-\text{i}\quad;\qquad
c=-3+\text{i}
\]

 Placer les points $A$, $B$ et $C$ sur le graphique.
 Calculer $\dfrac{b}{a}$, en déduire la nature du triangle $OAB$.
 On considère l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq b$ , associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par:
\[
z'=\dfrac{z + 1 - 2\text{i}}{z + 2 + \text{i}}.
\]

 Calculer l'affixe $c'$ du point $C'$, image de $C$ par $f$ et placer le point $C'$ sur la figure.
 Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z$ avec $ z \neq b$ tels que $\left\vert{z'}\right\vert=1$.
 Justifier que $\mathcal{E}$ contient les points $O$ et $C$. Tracer $\mathcal{E}$.

 {Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.}

On appelle $J$ l'image du point $A$ par la rotation $r$ de centre $O$ et d'angle $-\frac{\pi}{2}$.[0.5ex]
On appelle $K$ l'image du point $C$ par la rotation $r'$ de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.
On note $L$ le milieu de $[JK]$.

Démontrer que la médiane issue de $O$ du triangle $OJK$ est la hauteur issue de $O$ du triangle $OAC$.