BAC S COMPLEXE Asie juin 2006

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\textbf{\Large }

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2~cm).
On rappelle que pour tout vecteur $\overrightarrow{w}$ non nul, d'affixe $z$, on a : $|z| = \|\overrightarrow{w}\|$ et arg$(z) = \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{w}\right)$ à $2\pi$ près.

\textbf{Partie A. Restitution organisée de connaissances}

Prérequis : On sait que si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes non nuls, alors :

\[\text{arg}(zz') = \text{arg}(z) + \text{arg}(z').\]

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls. Démontrer que :

\[ \text{arg}\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \text{arg}(z) - \text{arg}(z')\]

\textbf{Partie B}

On note A et B les points d'affixes respectives $-\text{i}$ et $3\text{i}$.
On note $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan, d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M'$
d'affixe $z'$ telle que :
\[ z'= \dfrac{\text{i}z+3}{z + \text{i}}\]

étude de quelques cas particuliers.

Démontrer que $f$ admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB]. Placer ces points sur le dessin.
On note C le point d'affixe $c = - 2 + \text{i}$. Démontrer que le point C$'$, image de C par $f$, appartient à l'axe des abscisses.

Pour tout point $M$ du plan distinct de A et B, démontrer que

arg$\left(z'\right) = \left(\overrightarrow{M\text{A}},~\overrightarrow{M\text{B}}\right) + \dfrac{\pi}{2}$ à $2\pi$ près.
Étude de deux ensembles de points.

Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ soit un nombre complexe imaginaire pur.
Soit $M$ d'affixe $z$ un point du cercie de diamètre [AB] privé des points A et B. À quel ensemble appartient le point $M'$ ?