BAC S COMPLEXE Antilles_juin 2006

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Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal \Ouv, on considère les points
\begin{ize}
$A$ d'affixe $a$, $a\in\R$
$B$ d'affixe $b+\text{i}$, $b\in\R$
$C$ image de $B$ dans la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
\end{ize}

Déterminer une relation entre $a$ et $b$ pour que le point $C$ appartienne à l'axe
$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
Exprimer alors l'affixe du point $C$ en fonction de $a$.

Dans cette question, on pose $a=\sqrt{3}$ et $b=0$. On considère les points $C$ d'affixe $c=-\text{i}$ et $D$ d'affixe $d=2+\sqrt{3}-2\text{i}\sqrt{3}$.

Quelle est la nature du triangle $ABC$~?
Calculer le quotient $\dfrac{d - a}{c - a}$ ; que peut-on en déduire pour le triangle $ACD$~?
Déterminer l'affixe du point $E$ image de $D$ dans la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
Déterminer l'affixe du point $F$ image de $D$ dans la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$.
Déterminer la nature du triangle $BEF$.