BAC S COMPLEXE AmeriqueSud_nov 2005

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv . On prendra pour unité graphique 2 cm. Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'= \dfrac{4}{\overline{z}}$, où $\overline{z}$ désigne le nombre complexe conjugué de $z$.

Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$.
Déterminer l'ensemble des points dont l'image par l'application $f$ est le point J d'affixe 1.
Soit $\alpha$ un nombre complexe non nul. Démontrer que le point $A$ d'affixe $\alpha$ admet un antécédent unique par $f$, dont on précisera l'affixe.

Donner une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{O}M},~\overrightarrow{\text{O}M'}\right)$. Interpréter géométriquement ce résultat.
Exprimer $\left |z'\right|$ en fonction de $\left |z\right|$. Si $r$ désigne un réel strictement positif, en déduire l'image par $f$ du cercle de centre O et de rayon $r$.
Choisir un point $P$ du plan complexe non situé sur les axes de coordonnées et tel que O$P$ = 3, et construire géométriquement son image $P'$ par $f$.

On considère le cercle $\mathcal{C}_{1}$, de centre J et de rayon 1. Montrer que l'image par $f$ de tout point de $\mathcal{C}_{1}$ ,distinct de O, appartient à la droite $D$ d'équation $x = 2$.