BAC S COMPLEXE NlleCaledonie_nov 2005

Le plan est rapporté au repère orthonormal \Ouv. Unité graphique :
\textbf{3 cm}

À tout point $M$ d'affixe $z$ du plan, on associe le point $M'$
d'affixe $z'$ par l'application $f$ qui admet pour écriture complexe :
\[z'= \dfrac{(3+4\mathrm{i})z+5 \overline{z}}{6}.\]

On considère les points A, B, C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + 2\mathrm{i}, z_{\text{B}} = 1$ et $z_C=3\mathrm{i}$.

Déterminer les affixes des points A$'$, B$'$, C$'$ images respectives de
A, B, C par $f$.

Placer les points A, B, C, A$'$, B$'$, C$'$.
On pose $z = x+\mathrm{i}y$ (avec $x$ et $y$ réels).

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de $z'$ en
fonction de $x$ et $y$.
Montrer que l'ensemble des points $M$ invariants par $f$ est la
droite $(D)$ d'équation $y= \dfrac{1}{2}x$.

Tracer $(D)$. Quelle remarque peut-on faire ?
Soit $M$ un point quelconque du plan et $M'$ son image par
$f$. Montrer que $M'$ appartient à la droite $(D)$.

Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ :

\[\dfrac{z'-z}{z_{\text{A}}} = \dfrac{z+\overline{z}}{6} +
\mathrm{i}\dfrac{z-\overline{z}}{3}.\]

En déduire que le nombre $\dfrac{z'-z}{z_{\text{A}}}$ est réel.
En déduire que, si $M' \neq M$, les droites (OA) et $(MM')$
sont parallèles.

Un point quelconque $N$ étant donné, comment construire son
image $N'$? (on étudiera deux cas suivant que $N$ appartient ou non
à $(D)$).

Effectuer la construction sur la figure.