BAC S COMPLEXE Asie juin 2005

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique 1~cm).

On considère dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation (E) d'inconnue $z$ suivante :

\[z^3 + (-8 + \text{i})z^2 + (17 - 8\text{i})z + 17\text{i} = 0.\]

\textbf{I.} Résolution de l'équation (E).

Montrer que $- \text{i}$ est solution de (E).

Déterminer les nombres réels $a,~ b,~ c$ tels que :

\[z^3 + (-8 + \text{i})z^2 + (17 - 8\text{i})z + 17\text{i} = (z+\text{i})\left(az^2 + bz + c\right).\]

Résoudre l'équation (E) dans l'ensemble des nombres complexes.

\textbf{Il.} On appelle A, B et C les points d'affixes respectives $4 +\text{i},~ 4 - \text{i}, - \text{i}$.

Placer les points sur une figure que l'on complétera dans la suite de l'exercice.

Le point $\Omega$ est le point d'affixe 2. On appelle S l'image de A par la rotation de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$. Calculer l'affixe de S.

Démontrer que les points B, A, S, C appartiennent à un même cercle $\mathcal{C}$ dont on déterminera le centre et le rayon. Tracer $\mathcal{C}$.

à tout point $M$ d'affixe $z \neq 2$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'=\dfrac{ \text{i}z+10 - 2\text{i}}{z - 2}$.

Déterminer les affixes des points $A',~B',~C'$ associés respectivement aux points A, B et C.

Vérifier que $A',~B',~C'$ appartiennent à un cercle $\mathcal{C}'$ de centre P, d'affixe i. Déterminer son rayon et tracer $\mathcal{C}'$.

Pour tout nombre complexe $z \neq 2$, exprimer $|z' - \text{i}|$ en fonction de $z$.

Soit $M$ un point d'affixe $z$ appartenant au cercle $\mathcal{C}$. Démontrer que $|z' - \text{i}| = 2\sqrt{5}$.

En déduire à quel ensemble appartiennent les points $M'$ associés aux points $M$ du cercle $\mathcal{C}$.