BAC S COMPLEXE Liban juin 2005

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Unité graphique : 0,5~cm.

On note j le nombre complexe $\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.

On considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = 8,~b = 6\text{j}$ et

$c = 8\text{j}^2$.

Soit $A'$ l'image de B par la rotation de centre C et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.

Soit $B'$ l'image de C par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.

Soit $C'$ l'image de A par la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.

Placer les points A, B, C, $A',~B'$ et $C'$ dans le repère donné.

On appelle $a',~ b'$ et $c'$ les affixes respectives des points $A',~ B'$ et $C'$.

Calculer$a'$. On vérifiera que $a'$ est un nombre réel.

Montrer que $b' = 16\text{e}^{-\text{i}\frac{\Pi}{3}}$.

En déduire que O est un point de la droite (B$B'$).

On admet que $c' = 7 + 7\text{i}\sqrt{3}$.

Montrer que les droites (A$A'$), (B$B'$) et (C$C'$) sont concourantes en O.

On se propose désormais de montrer que la distance $M\text{A} + M\text{B} + M\text{C}$ est minimale lorsque $M$ = O.

Calculer la distance OA + OB + OC.

Montrer que $\text{j}^3 = 1$ et que ~$1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$.

On considère un point $M$ quelconque d'affixe $z$ du plan complexe.

On rappelle que $a = 8,~b = 6\text{j}$ et $c = 8\text{j}^2$.

Déduire des questions précédentes les égalités suivantes :

\[ \left|(a - z) + (b - z)\text{j}^2 + (c - z)\text{j}\right| = \left|a + b\text{j}^2 + c\text{j}\right| = 22. \]

On admet que, quels que soient les nombres complexes $z,~z'$ et $z''$ :

\[\left|z + z' + z''\right| \leqslant |z| + \left|z'\right| + \left|z''\right|. \]

Montrer que $M\text{A} + M\text{B} + M\text{C}$ est minimale lorsque $M$ = O.