BAC S COMPLEXE Réunion septembre 2004

\textbf{Partie A}

Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :

\[z^2 - 2z + 4 = 0.\]

Les solutions seront notées $z'$ et $z'',~z'$ désignant la solution dont la partie imaginaire est positive.

Donner les solutions sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.

Donner la valeur exacte $(z')^{2004}$ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique.

\textbf{Partie B}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{}; (unité graphique : 2~cm).

Montrer que les points A d'affixe $1 + \text{i}\sqrt{3}$ et B d'affixe $1 - \text{i}\sqrt{3}$ sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon.

Tracer ce cercle puis construire les points A et B.

On note O$'$ l'image du point O par la rotation $r_{1}$ de centre A et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$, et B$'$ l'image du point B par la rotation $r_{2}$ de centre A et d'angle $+ \dfrac{\pi}{2}$.

Calculer les affixes des points O$'$ B$'$ et construire ces points.

Soit I le milieu du segment [OB].

Que peut-on conjecturer pour la droite (AI) dans le triangle AO$'$B$'$ ?

Calculer l'affixe du vecteur $\overrightarrow{\text{AI}}$.

Montrer que l'affixe du vecteur $\overrightarrow{\text{O}'\text{B}'}$ est égale à $3\sqrt{3} - \text{i}$.

La conjecture émise à la question \textbf{b.} est-elle vraie ?