BAC S COMPLEXE Calédonie novembre 2004

Dans le plan complexe rapportŽ ˆ un repère orthonormal direct \Ouv, on considèrel'application $f$ du plan dans lui-même qui, ˆà tout point $M$
d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = z^2 - 4z.\]

Soient A et B les points d'affixes
$z_{\text{A}} = 1 - \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 3 + \text{i}$.

Calculer les affixes des points A$'$ et B$'$ images des points A
et B par $f$.

On suppose que deux points ont la même image par $f$. DéŽmontrer
qu'ils sont confondus ou que l'un est l'image de l'autre par une syméŽtrie
centrale que l'on prŽécisera.

Soit I le point d'affixe $-3$.

DŽémontrer que O$M$I$M'$ est un paralléŽlogramme si et seulement si
$z^2 - 3z + 3 = 0$.

RéŽsoudre l'Žéquation $z^2 - 3z + 3 = 0$.

Exprimer $(z'+ 4)$ en fonction de $(z -
2)$. En dŽéduire une relation entre $|z' + 4|$ et
$|z-2|$ puis entre arg$(z'+ 4)$ et arg$(z - 2)$.

On considre les points J et K d'affixes respectives
$z_{\text{J}} = 2$ et $z_{\text{K}} = -4$.

DŽémontrer que tous les points $M$ du cercle ($\mathcal{C}$) de centre J et de rayon 2 ont leur image $M'$ sur un même cercle que l'on dŽéterminera.

Soit E le point d'affixe $z_{\text{E}} = -4-3\text{i}$.

Donner la forme trigonomŽétrique de $(z_{\text{E}} + 4)$ et ˆ l'aide du \textbf{3. a.} dŽémontrer qu'il existe deux points dont l'image par $f$ est le point E.

PrŽéciser sous forme algŽébrique l'affixe de ces deux points.