BAC S COMPLEXE Amérique du Nord mai 2004

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.

On veut rŽésoudre dans $\mathbb{C}$ l'Žéquation

\[(\text{E})\qquad : z^3 + 4z^2 + 2z - 28 = 0.\]

DéŽterminer deux rŽéels $a$ et $b$ tels que l'Žéquation (E)
s'Žécrive :

\[(z-2)(z^2 + az + b) = 0.\]

RŽésoudre (E)

On note (H) l'ensemble des points $M$ du plan complexe d'affixe $z$ vŽérifiant :

\[z^2 - 4 = 4 - \overline{z}^2.\]

On note $x$ et $y$ les parties rŽéelle et imaginaire de l'affixe $z$ d'un point $M$.

Montrer que : $M$ appartient ˆ (H) si et seulement si

\[x^2 -y^2 = 4.\]

Soient A, B et C les points d'affixes respectives $2,~ -3 -
\text{i}\sqrt{5}$ et $-3 + \text{i}\sqrt{5}$. Vérifier
que A, B et C appartiennent ˆà (H).

Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{4}$.

DŽéterminer les affixes de A$'$, B$'$ et C$'$, images respectives de A, B et
C par la rotation $r$ (on donnera ces affixes sous la forme algéŽbrique).

On note $M'$ l'image par $r$ du point $M$ d'affixe $z$. On note
$z'$ l'affixe de $M'$. Les parties rŽéelle et imaginaire de $z$ sont
notŽées $x$ et $y$, celles de $z'$ sont notŽées $x'$ et $y'$. On note (H$'$)
l'ensemble des points du plan dont l'antéŽcŽédent par $r$ est un point de (H).

- Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$.

- En utilisant la question \textbf{2. a.} prouver que $M'$ appartient à
ˆ (H$'$) si et seulement si

\[x'y' = -2.\]

Faire une figure sur laquelle on placera les points A, B, C, A$'$,
B$'$, C$'$, la courbe (H$'$), puis la courbe (H).