Dérivation et études de fonctions - Ts

I.Dérivation

1.1.Nombre dérivé en un point

Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a$ un nombre réel de cet intervalle.

a) Définitions :

Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a$ un nombre réel de cet intervalle.

Taux de variation : Le coefficient directeur de la sécante $(AM)$ à la courbe est :

$m =\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ , c’est le taux de variation de la fonction entre $a$ et $x$.

Nombre dérivée : Le nombre dérivée de la fonction $f$ au point $a$ par définition si elle existe, est

$\left[ f'(a)=\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\right]$

Il se note $f'(a)$

b) Equation de la tangente :

On suppose la fonction $f$ dérivable en $a$. 
 
Elle admet donc une tangente au point $A$ d'abscisse $a.$ 
 
L'équation de la tangente est $[(D)\ :\ y=f'(a)(x-a)+f(a)].$
 
est le coefficient directeur de la tangente en $A$ à la courbe.
 
En posant $x=a+h$ on obtient une autre forme pour l'expression de la dérivée de la fonction $f$ au point $a$ :
 
$\left[f'(a)=\lim\limits_{h\to a}\dfrac{f(h)-f(a)}{h-a}\right]$

I.1.Fonctions dérivées

a) Définition :

On dit qu'une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ lorsque, pour tout réel de l'intervalle $I$, le nombre dérivé de $f\text{ en }x$ existe. 
 
Par définition, la fonction dérivée $f'$ est la fonction qui à tout réel $x$ de l'intervalle $I$ associe $f'(x)$, nombre dérivé de $f\text{ en }x.$

Exemple :

On considère la fonction carré, définie sur par. 
 
Soit $a$ un nombre réel quelconque. 
 
La pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a\text{ est }2a$ ; le nombre dérivé de la fonction $f$ en $a$ est.
 
La fonction $f$ est donc dérivable sur puisque le nombre dérivé de en tout réel $a$ existe. 
 
On peut alors définir la fonction dérivée de $f$, notée $f'$, par :

b) Dérivées usuelles :

On admet les formules de dérivation pour les fonctions usuelles ci-dessous.

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline\text{Fonction}&\text{Dérivée}&\text{Validité}\\ \hline f(x)=k&f'(x)=0&k\text{ nombre réel constant ; }x\,\in\;\mathbb{R} \\ \hline f(x)=ax&f'(x)=a&x\,\in\;\mathbb{R}\\ \hline f(x)=x^{n}&f'(x)=n\,x^{n-1}&n\,\in\;\mathbb{N}^{\ast}\;;\ x\,\in\;\mathbb{R}\\ \hline f(x)=\dfrac{1}{x}&f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}&x\,\in\;\mathbb{R}^{\ast}\\ \hline f(x)=\dfrac{1}{x^{n}}&f'(x)=-n\dfrac{1}{x^{n-1}}&n\,\in\;\mathbb{N}^{\ast}\;;\ x\,\in\;\mathbb{R}^{\ast}\\ \hline x\mapsto \sqrt{x}&x\mapsto \dfrac{1} {2\sqrt{x}}&x\,\in\,]0\;,\ +\infty[\\ \hline \end{array}$$

c) Opérations et dérivées

$u\text{ et }v$ sont des fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ est un nombre réel fixé.

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline\text{Fonction}&\text{Dérivée}&\text{Dérivabilité}\\ \hline\text{Somme}f=u+v&f'=u'+v'&\text{dérivable sur l'intervalle} I\\ \hline\text{Produit}&f=ku&\text{dérivable sur l'intervalle} I\\ &f'=ku'& \\ \hline\text{Produit}&f=uv &\text{dérivable sur l'intervalle}  I\\ &f'=u'v+uv'&\\ \hline\text{Quotient}&f=\dfrac{1}{v}&\text{dérivable pour les }x\text{ de }I\text{ où }v(x)\neq 0\\ &f'=-\dfrac{v'}{v^{2}}&\\ \hline\text{Quotient}&f=\dfrac{u}{v}& \text{dérivable pour les }x\text{ de }I\text{ où }v(x)\neq 0\\ &f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^{2}}&\\ \hline \end{array}$$
 
Remarquons que si $f=u^{2}=u\times  u\;,\text{ alors }f’=u’u+uu’=2uu’.$

I.2.Dérivées  d’une fonction composée

a) Théorème de dérivation (d’une fonction composée $g \circ u$)

Soit $u\text{ et }g$ deux fonctions telles que la composée $f=g\circ u$ existe sur un intervalle $I.$ Si $u$ est dérivable en $x\text{ de }I\text{ et }g$ dérivable en $u(x)\;,\text{ alors }f=g\circ u$ est dérivable en $x\text{ et : }f’(x)=g’(u(x)) u’(x).$

Exemples : 

Écrire chacune des fonctions qui suivent comme composée de deux fonctions et en déduire la dérivée : $$f(x)=\sqrt{x^{2}+1}\qquad f(x)=(2x^{2}-x+1)^{6}$$

b) Conséquences du théorème : des dérivées à bien connaître

$$\begin{array}{|c|c|} \hline\text{Fonction}&\text{Dérivée}\\ \hline f=u^{n}\;,\ n\text{ est un entier naturel}\;,\ n\geq 1&f'=nu^{n-1}\times u'\\ \hline f=\dfrac{1}{u}\text{ avec }u(x)\neq 0&f'=-\dfrac{1}{u^{2}}\times u'=-\dfrac{u'}{u^{2}}\\ \hline f=\sqrt{u}\;,\text{ avec }u(x)>0&f'=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\times u'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\\ \hline f(x)=\dfrac{1}{u^{n}}\text{ avec }u(x)\neq 0&f'=\dfrac{-n}{u^{n+1}}\times u'=-\dfrac{nu'}{u^{n+1}}\\ \hline \end{array}$$

c) Dérivées successives

Lorsque la fonction $f$ est dérivable, on note $f'$ sa fonction dérivée. 
 
Si $f'$ est dérivable à son tour, on note $f''$ sa fonction dérivée et par récurrence on définit la dérivée d'ordre $n$ notée $f^n$ ou $\dfrac{d^nf}{dx^n}$ par $[ f^{(n)} =(f^{(n-1)})']$

 Exemple :

Calculer les dérivées successives jusqu’ à l’ordre $3$ des fonctions suivantes :  $$f(x)=4x^3+2x^2+3x+5\qquad g(x)=\dfrac{x+1}{x}\qquad h(x)=\mathrm{e}^{x}\qquad k(x)=\ln x$$

II. Etude de fonction

II.1. Variations de fonction

Propriété :

Soit  $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I.$            

$\bullet\ \ $ Si la dérivée est positive sur $I$ , alors $f$  est croissante sur $I.$    
 
$\bullet\ \ $ Si la dérivée est négative sur $I$, alors  $f$ est décroissante sur $I.$
 
$\bullet\ \ $ Si la dérivée est nulle en toute valeur de $I$, alors la fonction  $f$ est constante sur $I.$

Exemple :

$f(x)=2x^2+3x+5\qquad g(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$

$h(x)=e^x±x\qquad k(x)=x+ ln~x$                                                         

II.2 Parité d’une fonction

a) Ensemble de définition centré

Soit $f$ une fonction. 
 
Soit $D_f$ son ensemble de définition. 
 
On dit que $D_f$ est un ensemble de définition centré si et et seulement si :

Pour tout réel $x$,  si $x\in  D_f$ , alors  $-x\in  D_f$ .

b) Fonction paire

On dit qu’une fonction $f$ est paire si et seulement si :

1. Son ensemble de définition est centré,

2. Pour tout réel $x$ de $D_f$, on  a : $f(-x)=f(x)$

Exemple:

$-\ \ $ Si $n$ est un entier pair, positif, la fonction définie par  $f(x)=kx^n$ est paire.        

$-\ \ $ la fonction $x\mapsto |x|$  est une fonction paire,     

c) Fonction impaire

On dit qu’une fonction $f$ est impaire si et seulement si :

1. Son ensemble de définition est centré,

2. Pour tout réel $x$ de $D_f$, on  a : $f(-x)=-f(x)$

$-\ \ $ la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

d) Autres cas de symétries dans une courbe

Soit $f$ une fonction. Soit $D_f$ son ensemble de définition et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative.

Deux cas peuvent se présenter :  

$-\ \ (\mathcal{C})$ est symétrique par rapport à un axe d’équation $x=a$ ,

$-\ \ (\mathcal{C})$ est symétrique par rapport à un point $A(a\;,\ b)$.

Nous admettrons les résultats suivants :

Si, pour tout réel $x$ tel que $a+x \in  D_f$,  on a : $a-x\in D_f$ et $f(a+x)=f(a-x)$

Alors, la courbe $(\mathcal{C})$ est symétrique par rapport à l’axe d’équation $x=a$.

Si, pour tout réel $x$ tel que $a+x \in D_f$,  on a : $a-x\in D_f$  et

$f(a+x)+f(a-x)=2b$

Alors, la courbe $\mathcal{C}$ est symétrique par rapport au point $A(a\;,\ b)$.

e) Périodicité

Définition : 

On dit qu’une fonction $f$ est périodique si et seulement si, il existe un réel $T$ strictement positif tel que : $$\forall\; x\in D_f\;, \text{ on a : }x+T\in D_f\ \text{ et }\ f(x+T)=f(x)$$

On appelle période de la fonction $f$ le plus petit réel $T$ vérifiant la propriété ci-dessus. 
 
Si $f$ est une fonction de période $T$, alors on a : 
$$\forall\; x\in D_f\ :\ f(x+T)=f(x)$$

L’intervalle d’étude d’une fonction périodique peut se réduire à un intervalle couvrant une seule période.

Application :
 

1. $f\text{ est la fonction définie sur }\mathbb{R}\text{ par }f(x)=\dfrac{x^{2}-x-2}{x^{2}-x+1}$

Démontrer, en utilisant les deux méthodes, que la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$ est un axe de symétrie de $(\mathcal{C}).$

2. $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{3}+3x^{2}-4$  
 
Démontrer, en utilisant les deux méthodes, que le point $W(-1\;;\ -2)$ est un centre de symétrie de $(\mathcal{C})$

II.2. Extremums de fonction

Propriété :

Lorsque la dérivée d’une fonction s’annule, en changeant de signe, la fonction $f$ admet un extremum.

Si $f$ admet un extremum. En un point d’abscisse  a alors $f'(a)=0.$ 

En effet deux types de tableaux de variation peuvent se rencontrer :

Cas d’un maximum

$$\begin{array}{|l|lcccr|}\hline\text{valeurs de } x&a&&c&&b\\ \hline\text{signe de } f'(x)&&+&0&-&\\ \hline&&&\text{maximum}&&\\ \text{variations de }f&&\nearrow&|&\searrow&\\&&&|&&\\ \hline \end{array}$$

Cas d’un minimum

$$\begin{array}{|l|lcccr|}\hline\text{valeurs de } x&a&&c&&b\\ \hline\text{signe de } f'(x)&&-&0&+&\\ \hline&&&|&&\\ \text{variations de }f&&\searrow&|&\nearrow&\\&&&\text{minimum}&&\\ \hline \end{array}$$

Exemple :

Déterminer la nature des extrémums des fonctions suivantes

$f(x)=x^3+3x^2-6x+5$

$g(x)=x+\ln x$     

Exercice

Soit la fonction $f$ définie pour tout $x$ élément de l’intervalle $[0\;,\ +\infty[$ par :

$[f(x)=f(x)=x^3-19x^2+130x+100]$

La fonction $f$ modélise sur l’intervalle $]0\;;\ 16]$ la fonction coût total de production, en euro, d’un produit.

Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée $\mathbb{C}$ , est donnée  ci-dessous

Pour tout $x$ dans l’intervalle $]0\;;\ 16]$, le quotient $C_M(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ est appelé coût moyen de production de $x$ ​ kilogrammes de produit.

  1. Pour $x$ dans l’intervalle $]0\;;\ 16]$, soit le point $A$ d’abscisse $x$ de la représentation graphique $(\mathcal{C})$ de la fonction  $f.$ 

Montrer que le coefficient directeur de la droite $(OA)$ est égal au coût moyen

$C_M(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ .

      2. L’entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production.

        a) Par lecture graphique indiquer la valeur de $x$ qui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum.
 
        On note $C_{M'}$ la dérivée de la fonction.

      b) Calculer $C_{M'}$ et vérifier que pour $x$ dans l’intervalle $]0\;;\ 16]$ :
 
      $C'(x)=\dfrac{(x-10)(2x^{2}+x+10)}{x^{2}}$

$\bullet\ \ $ Étudier les variations de la fonction $x\mapsto C_M(x)\text{ sur }]0\;;\ 16].$           

 
$\bullet\ \ $ En déduire la valeur $x_{0}$ de $x$ qui minimise le coût moyen.

3. On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire. 

On modélise ce coût marginal par $\mathcal{C}_{M}(x)=f'(x)\text{ où }f'\text{ est la dérivée de }f.$
      
a) Exprimer en fonction de $x$ le coût marginal.
 
b) Vérifier que pour $x_{0}$, le coût marginal est égal au coût unitaire moyen.

 

Auteur: 
Moussa Fall: Professeur au Lycée Omar Lamine Badji de Ziguinchor

Commentaires

5

fellicitation merci<br /> <br />

J'aimerai belle et bien que vous m'aidiez à bien préparer ma classe d'examen

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