Limites et continuité : rappels et compléments - Ts

Classe: 
Terminale
 

I. Rappels

I.1 Limites

I.1.1 Limites à l'infini

On a : 
 
$\ast\ \ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ si, et seulement si,
 
$$\forall\;A>0\;,\ \exists\;B>0\ \text{ tel que si } x\geq B\ \text{ alors }f(x)\geq A$$
 
$\ast\ \ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$ si, et seulement si,
 
$$\forall\;A<0\;,\ \exists\;B>0\ \text{ tel que si } x\geq B\ \text{ alors }f(x)\leq A$$
 
$\ast\ \ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$ si, et seulement si,
 
$$\forall\;A>0\;,\ \exists\;B<0\ \text{ tel que si } x\leq B\ \text{ alors }f(x)\geq A$$
 
$\ast\ \ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$ si, et seulement si,
 
$$\forall\;A<0\;,\ \exists\;B<0\ \text{ tel que si } x\leq B\ \text{ alors }f(x)\leq A$$
 
$\ast\ \ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\ell\in\mathbb{R}$ si, et seulement si,
 
$$\forall\;\varepsilon>0\;,\ \exists\;A>0\ \text{ tel que si } x\geq A\ \text{ alors }|f(x)-\ell|\leq\varepsilon$$

I.1.2. Limites en $x_{0}$

On a : 
 
$\ast\ \ \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=+\infty$ si, et seulement si,
 
$$\forall\;A>0\;,\ \exists\;\alpha>0\ \text{ tel que si } x_{0}<x\leq x_{0}+\alpha\ \text{ alors }f(x)\geq A$$
 
$\ast\ \ \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=-\infty$ si, et seulement si,
 
$$\forall\;A<0\;,\ \exists\;\alpha>0\ \text{ tel que si } x_{0}-\alpha\leq x<x_{0}\ \text{ alors }f(x)\leq A$$

Théorème

Soit $f$ une fonction non définie en $x_{0}$, alors $f$ admet une limite en $x_{0}$ si, et seulement si, $$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=\ell\in\mathbb{R}$$

I.1.3. Opération sur les limites

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de limites finies ou non. Les limites de $f+g\;,\ f\times g$ et de $\dfrac{f}{g}$ sont récapitulées dans les tableaux ci-dessous.
 
N.B : Dans les cas où on ne peut conclure, on dira qu'on est en face d'une indétermination ou simplement une "forme indéterminée" notée $(F.I)$

I.1.3.1 Limites d'une somme de deux fonctions

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \lim f&\ell&\ell&\ell&+\infty&-\infty&+\infty \\ \hline \lim g&\ell'&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&-\infty \\ \hline \lim (f+g)&\ell+\ell'&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&F.I \\ \hline\end{array}$$

I.1.3.2 Limites d'un produit

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \lim f&\ell&\ell>0&\ell<0&\ell>0&\ell<0&+\infty&-\infty&+\infty&0 \\ \hline \lim g&\ell'&+\infty&+\infty&-\infty&-\infty&+\infty&-\infty&-\infty&\infty \\ \hline \lim (f\times g)&\ell\times\ell'&+\infty&-\infty&-\infty&+\infty&+\infty&+\infty&-\infty&F.I \\ \hline\end{array}$$

I.1.3.3 Limites d'un quotient 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \lim f&\infty&\ell&\ell&+\infty&+\infty&-\infty&-\infty \\ \hline \lim g&\infty&\ell'\neq 0&\infty&\ell'<0&\ell'>0&\ell'<0&\ell'>0 \\ \hline \lim\left(\dfrac{f}{g}\right)&F.I&\dfrac{\ell}{\ell'}&0&-\infty&+\infty&+\infty&-\infty \\ \hline\end{array}$$
 
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \lim f&\ell>0&\ell>0&\ell<0&\ell<0&0 \\ \hline \lim g&0^{+}&0^{-}&0^{+}&0^{-}&0 \\ \hline \lim\left(\dfrac{f}{g}\right)&+\infty&-\infty&-\infty&+\infty& F.I \\ \hline\end{array}$$

Remarque

On a quatre "formes indéterminées" : $$\infty-\infty\;,\quad 0\times\infty\;,\quad \dfrac{0}{0}\quad\text{et}\quad\dfrac{\infty}{\infty}$$

I.1.4. Levée d'une indétermination

Pour lever une indétermination on doit, selon le cas :
 
$-\ \ $ Utiliser l'un des théorèmes suivants

Théorème 1

La limite à l'infini d'un polynôme est la limite à l'infini de son monôme de plus haut degré.

Théorème 2

La limite à l'infini d'une fraction rationnelle est la limite à l'infini du quotient des monômes de plus haut degré.
 
$-\ \ $ Factoriser par $(x-x_{0})$ ou multiplier par l'expression conjuguée
 
$-\ \ $ Utiliser les théorèmes de comparaison
 
Soit $f\;,\ g\ :\ I\longrightarrow \mathbb{R}$ et soit $x_{0}\in I\ $ ou $\ x_{0}=\pm\infty$

Théorème 3

Si au voisinage de $x_{0}$ on a $f(x)\leq g(x)$ alors on a :
$$\begin{array}{rcl} \text{si }\lim f(x)=+\infty&\text{alors,}&\lim g(x)=+\infty\\ \\ \text{si }\lim g(x)=-\infty&\text{alors,}&\lim f(x)=-\infty\end{array}$$

Théorème 4 : (Théorème des gendarmes)

Si au voisinage de $x_{0}$ on a $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ et que 
 
$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=\ell$ (finie ou infinie) alors, $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\ell$
 
$-\ \ $ Utiliser le théorème de composée de fonctions

Théorème 5

Soit deux fonctions $f$ et $g$ telles que : $f\ :\ I\longrightarrow\mathbb{R}\;,\ g\ :\ J\longrightarrow\mathbb{R}$
 
$I$ et $J$ sont deux intervalles de $\mathbb{R}$ tels que $f(I)\subset J$ et soit $x_{0}\;,\ \ell\;,\ \ell'$ finis ou infinis, on a :
 
Si $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\ell$ et si $\lim\limits_{x\rightarrow \ell}g(x)=\ell'$ alors, $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}g\circ f(x)=\ell'$

I.2. Continuité

I.2.1. Définition 

Soit $f\ :\ I\longrightarrow\mathbb{R}$ et $x_{0}\in I$ alors :
 
$\centerdot\ \ f$ est continue à gauche $x_{0}$ si, et seulement, $$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0})$$
 
$\centerdot\ \ f$ est continue à droite $x_{0}$ si, et seulement, $$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})$$
 
$\centerdot\ \ f$ est continue en $x_{0}$ si, et seulement, $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$$

Théorème 6

Soit $f\ :\ I\longrightarrow\mathbb{R}$ et $x_{0}\in I$
 
On dit que $f$ est continue en $x_{0}$ si, et seulement, $f$ est continue à gauche et à droite de $x_{0}$, c'est-à-dire  $$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})$$

I.2.2. Opérations sur les continuités

Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ continue sur $J$ alors :
 
$\centerdot\ \ f+g$ est continue sur $I\cap J$ et $$\forall\;x_{0}\in I\cap J\;,\ \lim_{x\rightarrow x_{0}}[f(x)+g(x)]=f(x_{0})+g(x_{0})$$
 
$\centerdot\ \ fg$ est continue sur $I\cap J$ et $$\forall\;x_{0}\in I\cap J\;,\ \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)g(x)=f(x_{0})\times g(x_{0})$$
 
$\centerdot\ \ \dfrac{f}{g}$ est continue sur $A=I\cap J\setminus\{x\in J\ \text{ tels que }\ g(x)=0\}$ et $$\forall\;x_{0}\in A\;,\ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x_{0})}{g(x_{0})}$$

Théorème 7 (composée)

Soit $f\ :\ I\longrightarrow\mathbb{R}$ et $g\ :\ J\longrightarrow\mathbb{R}$ avec $f(I)\subset J$
 
Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ continue sur $J$ alors $g\circ f$ est continue sur $I$ et $$\forall\;x_{0}\in I\;,\ \lim_{x\rightarrow x_{0}}g\circ f=g\circ f(x_{0})$$

Remarques

$-\ \ $ Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$
 
$-\ \ $ Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.
 
$-\ \ $ La fonction $\sqrt{f(x)}$ est continue sur son domaine de définition.
 
$-\ \ $ La fonction $|f(x)|$ est continue sur son domaine de définition.
 
$-\ \ $ Les fonctions $\sin x\;,\ \cos x$ sont continues sur leur domaine de définition.
 
$-\ \ $ La fonction $\tan x$ est continue sur $\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\;,\ k\in\mathbb{Z}\right\}.$

I.2.3. Prolongement par continuité

Si $x_{0}\notin D_{f}$ et si $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\ell\in\mathbb{R}$ et $]x_{0}-\alpha\;;\ x_{0}+\alpha[\;\cap\;D_{f}=\emptyset$ alors, $f$ est prolongeable par continuité en $x_{0}.$
 
On définit $f_{1}(x)$ le prolongement par continuité en $x_{0}$ de $f$ par : $$f_{1}(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&\text{si}&x\neq x_{0} \\ \ell&\text{si}&x=x_{0} \end{array}\right.$$

II. Compléments

II.1. Image d'un intervalle par une fonction continue

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ alors 
 
$\centerdot\ \ f$ est continue sur $I$ si, et seulement si, elle est continue en tout point de $x_{0}\in I$
 
$\centerdot\ \ $ l'image d'un intervalle $I\subset\mathbb{R}$ par une fonction continue est un intervalle $J=f(I)$
 
$\centerdot\ \ $ l'image d'un intervalle fermé et borné $[a\;,\ b]$ de $\mathbb{R}$ par une fonction continue est un intervalle fermé et borné de $\mathbb{R}\;,\ [\alpha\;,\ \beta]$ où $\alpha=\min f(x)\;;\ x\in[a\;,\ b]$ et $\beta=\max f(x)\;;\ x\in[a\;,\ b]$

Exemple

Ci-dessous on considère le tableau de variation d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{*}$
 
$$\begin{array}{|c|lcccccrclcccccr|}\hline x&-\infty&&-4&&-3&&&0&&&1&&2&&+\infty\\ \hline f'(x)&&+&0&-&0&+&&||&&-&0&+&0&-&\\ \hline&&&2&&&&+\infty&||&+\infty&&&&4&&\\f&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&||&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&&&-4&&&||&&&0&&&&0\\ \hline \end{array}$$
 
Déterminer les images des intervalles suivants :
 
$]-\infty\;;\ -4]\;,\ ]-\infty\;;\ -3]\;,\ ]-\infty\;;\ 0[\;,\ [-4\;;\ -3]$
 
$[1\;;\ +\infty[\;,\ [-4\;;\ 0]\;,\ [0\;;\ +\infty[\;,\ ]0\;;\ 2]$

Résolution

$f(]-\infty\;;\ -4])=]-\infty\;;\ 2]\;,\quad f(]-\infty\;;\ -3])=]-\infty\;;\ 2]\;,\quad f(]-\infty\;;\ 0[)=\mathbb{R}$
 
$f([-4\;;\ -3])=[-4\;;\ 2]\;,\quad f([1\;;\ +\infty[)=[0\;;\ 4]$
 
$f([-4\;;\ 0])=[-4\;;\ +\infty[\;,\quad f([0\;;\ +\infty[)=[0\;;\ +\infty[$
 
$f(]0\;;\ 2])=[0\;;\ +\infty[$

II.2. Théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est continue sur $I$ et que $f(I)=J$ alors $\forall\;y_{0}\in J$ il existe au moins un $x_{0}\in I$ tel que $f(x_{0})=y_{0}$

Corollaire

Si $f$ est continue sur $I=[a\;,\ b]$ et si $f(a)\times f(b)<0$ alors l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur $]a\;,\ b[$ c'est-à-dire il existe $c\in]a\;,\ b[$ tel que $f(c)=0.$

Théorème 8 (bijection)

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$ alors $f$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$

Remarque

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$ et que $f(I)=J$ alors $\forall\;y_{0}\in J$ il existe un unique $x_{0}\in I$ tel que $f(x_{0})=y_{0}$

Exemple

Soit $f(x)=x^{3}-3x+1$
 
1) Donner le tableau de variation de $f$
 
2) Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$

Résolution

1) $f(x)=x^{3}-3x+1$ alors $D_{f}=\mathbb{R}$ et $f$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$
 
On a : $f'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)$
 
Donc, $f'(x)>0$ sur $]-\infty\;;\ -1[\cup]1\;;\ +\infty[\;,\ f'(x)<0$ sur $]-1\;;\ 1[$ et $f'(x)=0$ si $x=-1$ ou $x=1$
 
D'où :
 
$\centerdot\ \ f$ est croissante si, et seulement si, $x\in\;]-\infty\;;\ -1[\cup]1\;;\ +\infty[$
 
$\centerdot\ \ f$ est décroissante si, et seulement si, $x\in\;]-1\;;\ 1[$
 
$\centerdot\ \ f$ est constante si, et seulement si, $x=-1$ ou $x=1$
 
Aussi, $f(-1)=3\;,\ f(1)=-1$ 
 
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\ $ et $\ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$
 
Tableau de variation de $f$
 
$$\begin{array}{|c|lcccccr|}\hline x&-\infty&&-1&&1&&+\infty\\ \hline f'(x)&&+&0&-&0&+&\\ \hline&&&3&&&&+\infty\\f&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&-\infty&&&&-1&&\\ \hline \end{array}$$
 
2) $f$ est continue sur $]-\infty\;;\ -1[$ alors, $f(]-\infty\;;\ -1])=]-\infty\;;\ 3]$
 
Or, $0\in\;]-\infty\;;\ 3]$ donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe $x_{0}\in\;]-\infty\;;\ -1]$ tel que $f(x_{0})=0.$ Et $x_{0}$ est unique pour que $f$ soit strictement croissante.
 
$f$ est continue sur $[-1\;;\ 1]\;;\ f(-1)\times f(1)=-3<0$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires il existe $x_{1}\in\;]-1\;;\ 1[$ tel que $f(x_{1})=0.$
 
Et donc $x_{1}$ est unique pour que $f$ est strictement décroissante sur $[-1\;;\ 1].$
 
$f$ est continue et strictement croissante sur $[1\;;\ +\infty[$ donc, $f$ est une bijection de $[1\;;\ +\infty[$ sur $[-1\;;\ +\infty[$
 
Or, $0\in[-1\;;\ +\infty[$ donc, il existe un unique $x_{2}\in\;[1\;;\ +\infty[$ tel que $f(x_{2})=0.$
 
Ainsi, l'équation $f(x)=0$ admet trois solutions distinctes $$x_{0}<-1<x_{1}<1<x_{2}$$

 
Auteur: 
Seyni Ndiaye & Diny Faye

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