Solution des exercices : Symétrique orthogonal - 6e

Classe: 
Sixième
 

Exercice 1

1) Reproduisons la figure ci-dessous.
 
 
2) Construisons les points $I'\;,\ J'\;,\ K'\ $  et $\ L'$ symétriques respectifs des points $I\;,\ J\;,\ K\ $ et $\ L$ par rapport à $(d).$

Exercice 4

1) Construisons un segment $[MN]$ oblique tel que : $MN=5\;cm$ ; $I$ milieu de $[MN].$
 
2) Construisons  une droite $(d)$ extérieur de $[MN].$
 
3) Construisons les points $M'\ $ et $\ N'$ symétriques respectifs de $M\ $ et $\ N$ par rapport à $(d).$
 
4) a) Le symétrique de $I$ par rapport à $(d)$ est le point $I'$ milieu du segment $[M'N']$
 
Justifions la réponse.
 
On sait que l'image du milieu d'un segment par symétrie orthogonale est le milieu de l'image de ce segment.

Or, $[M'N']$ est le symétrique de $[MN]$ par rapport à $(d)\ $ et $\ I$ milieu du segment $[MN]$ donc, le symétrique de $I$ par rapport à $(d)$ est le point $I'$ mileu de $[M'N'].$
 
b) La longueur du segment $[MN]$ est de $5\;cm.$
 
Justifions la réponse.
 
On sait que $MN=5\;cm\ $ et que $[M'N']$ est l'image de $[MN]$ par la symétrie orthogonale d'axe $(d).$
 
Or, l'image d'un segment par symétrie orthogonale est un segment de même longueur.
 
Par conséquent, $\boxed{M'N'=5\;cm}$
 
 

Exercice 5

1) Construisons un cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$ est de rayon $3\;cm.$
 
2) Traçons une droite $(d)$ extérieur de $(\mathcal{C}).$
 
3) Construisons le cercle $(\mathcal{C}')$ symétrique de $(\mathcal{C})$ par rapport à $(d).$
 
On sait que le symétrique d'un cercle par rapport à un axe est un cercle de même rayon et de centre le symétrique du centre.
 
Donc, $(\mathcal{C}')$ est un cercle de même rayon que $(\mathcal{C})$ et de centre $O'$ symétrique de $O$ par rapport à $(d).$
 
4) a) $(\mathcal{C})\ $ et $\ (\mathcal{C}')$ sont disjoints extérieurement.
 
b) Calculons l'aire du cercle $(\mathcal{C}').$
 
Soit $\mathcal{A}_{(\mathcal{C}')}$ l'aire du cercle $(\mathcal{C}').$
 
Alors, on a : $\mathcal{A}_{(\mathcal{C}')}=\pi\times r'^{2}$ avec $\pi=3.14\ $ et $\ r'=3\;cm$ ; rayon de $(\mathcal{C}')$
 
Donc,
 
$\begin{array}{rcl}\mathcal{A}_{(\mathcal{C}')}&=&3.14\times 3^{2}\\\\&=&3.14\times 9\\\\&=&28.26\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{\mathcal{A}_{(\mathcal{C}')}=28.26\;cm^{2}}$
 
 

Exercice 8

1) Construisons un angle $AOB$ tel que $mes\;\widehat{AOB}=60^{\circ}.$
 
2) Construisons l'angle $\widehat{B'OB}$ symétrique de l'angle $\widehat{AOB}$ par rapport à la droite $(OB).$
 
L'angle $\widehat{B'OB}$ est obtenu en construisant les symétriques de $A\;,\ O\ $ et $\ B$ par rapport à $(OB).$
 
Comme $O\ $ et $\ B$ appartiennent à la droite $(OB)$ alors, ils sont leur propre symétrique.
 
Soit $B'$ le symétrique de $A$
 
3) La mesure de l'angle $\widehat{AOB'}$ est de $120^{\circ}$
 
Justifions la réponse.
 
On sait que l'image d'un angle par symétrie orthogonale est un angle de même mesure donc, $\widehat{B'OB}=60^{\circ}.$
 
Comme les angles $\widehat{AOB}\ $ et $\ \widehat{B'OB}$ sont adjacents alors, $\widehat{AOB'}=\widehat{AOB}+\widehat{B'OB}.$
 
Par suite, $\widehat{AOB'}=60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}$
 
D'où, $\boxed{\widehat{AOB'}=60^{\circ}}$
 
 

Exercice 13

Recopions et complétons les phrases ci-dessous :
 
1) Si $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à une droite $(D)$ alors $(D)$ est la médiatrice du segment $[AA'].$
 
2) L'axe de symétrie d'une figure est la droite $(D)$ telle que le symétrique de tout point de la figure est un point de la figure.
 
3) Deux segments symétriques par rapport à une droite ont la même longueur.

Exercice 14

Reproduisons la figure ci-dessous où $ABC$ est un triangle tel que $AH=4\;cm\;,\ BH=2\;cm\ $ et $\ HC=3\;cm.$
 
 
1) Construisons le symétrique $K$ du point $H$ par rapport à la droite $(AB).$
 
2) Construisons le symétrique $L$ du point $H$ par rapport à la droite $(AC).$
 
3) Les points $K\ $ et $\ L$ ne sont pas symétriques par rapport à $(AH)$
 
On remarque que la droite $(AH)$ n'est pas médiatrice du segment $[KL].$
 
Par conséquent, $K\ $ et $\ L$ ne sont pas symétriques par rapport à $(AH).$

Exercice 15

Parmi les figures ci-dessous, indiquons celle pour laquelle $A\ $ et $\ A'$ sont symétriques par rapport à la droite $(L).$ Justifie ta réponse.
 
 
La figure pour laquelle $A\ $ et $\ A'$ sont symétriques par rapport à la droite $(L)$ est la figure $1.$
 
Justifions la réponse
 
Sur la figure $1$, on constate que la droite $(L)$ est médiatrice du segment $[AA'].$ Par conséquent, les points $A\ $ et $\ A'$ sont symétriques par rapport à cette droite $(L).$
 
Par contre, pour la figure $2$, on remarque que la droite $(L)$ passe par le milieu de $[AA']$ mais n'est pas perpendiculaire. Donc, cette droite n'est pas médiatrice du segment $[AA'].$ Par conséquent, les points $A\ $ et $\ A'$ ne sont pas symétriques par rapport à $(L).$
 
Aussi, pour la figure $3$, la droite $(L)$ est perpendiculaire à $(AA')$ mais ne passe pas par le milieu de $[AA'].$ Donc, cette droite n'est pas médiatrice du segment $[AA'].$ Par conséquent, les points $A\ $ et $\ A'$ ne sont pas symétriques par rapport à $(L).$

Exercice 18

On donne la figure ci-dessous :
 
 
1) Les droites $(AB)\ $ et $\ (B'C')$ sont symétriques par rapport à $(D).$
 
On a : la droite $(B'C')$ passe par les points $A'\ $ et $\ B'$ qui sont les symétriques respectifs des points $A\ $ et $\ B$ par rapport à $(D).$
 
Donc, $(AB)\ $ et $\ (B'C')$ sont symétriques par rapport à $(D).$
 
2) Les segments $[AB]\ $ et $\ [B'C']$ ne sont pas symétriques par rapport à $(D).$
 
On constate que l'image de $B$ est $B'$ mais que $C'$ n'est pas le symétrique de $A$ par rapport à $(D).$
 
Par conséquent, $[AB]\ $ et $\ [B'C']$ ne sont pas symétriques par rapport à $(D).$
 
3) Les segments $[AB]\ $ et $\ [B'A']$ sont symétriques par rapport à $(D).$
 
On a : $A'\ $ et $\ B'$ symétriques respectifs des points $A\ $ et $\ B$ par rapport à $(D).$
 
Donc, les segments $[AB]\ $ et $\ [B'A']$ sont symétriques par rapport à $(D).$
 
4) Les demi-droites $[AB)\ $ et $\ [B'A')$ ne sont pas symétriques par rapport à $(D).$
 
On sait que si les deux demi-droites sont symétriques alors, l'image de tout point de $[AB)$ est sur $[B'A').$
 
Or, on a constaté que $C'$ le symétrique de $C$ par rapport à $(D)$ n'appartient pas à la demi-droite $(B'A').$
 
Donc, les demi-droites $[AB)\ $ et $\ [B'A')$ ne sont pas symétriques par rapport à $(D).$
 
5) Les demi-droites $[AB)\ $ et $\ [A'C')$ sont symétriques par rapport à $(D).$
 
On constate que le symétrique de tout point de $[AB)$ appartient à la demi-droite $[A'C').$
 
Par conséquent, $[AB)\ $ et $\ [A'C')$ sont symétriques par rapport à $(D).$

Exercice 19

Sur la figure ci-dessous, les deux triangles sont symétriques par rapport $(d).$
 
 
Recopions et complétons les phrases ci-dessous :
 
1) Le symétrique du point $D$ par rapport $(d)$ est le point $G$ ;
 
2) Le symétrique du point $F$ par rapport $(d)$ est le point $B$ ;
 
3) Le symétrique du segment $[HF]$ par rapport $(d)$ est le segment $[EB]$ ;
 
4) Le symétrique du segment $[ED]$ par rapport $(d)$ est le segment $[HG]$

Exercice 21

1) Construisons un triangle $ABC$ isocèle en $A$ tel que $AB=6\;cm\ $ et $\ BC=4\;cm.$
 
2) Construisons l'axe de symétrie $(D)$ de ce triangle.
 
Comme le triangle $ABC$ isocèle en $A$ alors, son axe de symétrie est la médiatrice de $[BC]$ passant par $A.$
 
3) Construisons le point $E$ symétrique de $A$ par rapport à $(BC).$
 
Justifions que $E\in(D).$
 
Comme le point $E$ est symétrique de $A$ par rapport à $(BC)$ alors, la droite $(BC)$ est médiatrice du segment $[AE].$
 
Ce qui signifie que les droites $(BC)\ $ et $\ (AE)$ sont perpendiculaires.
 
Or, la droite $(D)$ passe par $A$ et est perpendiculaire à la droite $(BC).$ Donc, $(D)\ $ et $\ (AE)$ sont confondues.
 
Par conséquent, le point $E$ appartient à la droite $(D).$
 
4) $(D)$ représente un axe de symétrie pour le quadrilatère $ABEC$
 
5) $(BC)$ représente un axe de symétrie pour le quadrilatère $ABEC$
 
6) Le quadrilatère $ABEC$ est un losange.
 
Comme $(D)\ $ et $\ (AE)$ sont perpendiculaires alors, les diagonales $[BC]\ $ et $\ [AE]$ du quadrilatère $ABEC$ sont perpendiculaires.
 
D'où, $ABEC$ est un losange.
 
 
 
 

Auteur: 
Diny Faye

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