Équilibre d'un solide mobile autour d'un axe fixe - 2nd

Classe: 
Seconde
 

I. Solide mobile autour d'un axe fixe 

1. Axe de rotation

1.1. Observations

$-\ $ Une porte peut tourner autour de ses gonds. 
 
La droite verticale les joignant constitue l'axe de rotation de la porte.
 
$-\ $ Dans une balance à deux plateaux, l'arête horizontale perpendiculaire au couteau est l'axe de rotation du fléau. 
 
 
 

1.2. Définition

L'axe de rotation est une droite, théorique ou réelle, autour de laquelle tourne un solide.

2. Sens de rotation

Deux sens de rotation sont possibles lorsqu'un solide autour d'un axe.
 
D'où la nécessité de choisir un sens positif de rotation.
 
On utilise : 
 
$-\ $ le sens trigonométrique comme sens positif correspondant au sens de rotation contraire des aiguilles d'une montre.
 
$-\ $ ou le sens trigonométrique sens positif correspondant au sens de rotation identique des aiguilles d'une montre.
 
 

3. Bras de levier

Le bras de levier d'une force, par rapport à un axe de rotation $\Delta$, est la distance entre la ligne d'action de cette force et l'axe de rotation.
 
C'est la longueur du segment qui lie l'axe $\Delta$ à la ligne d'action de la force, le segment étant perpendiculaire à cette ligne d'action.
 
 

II. Moment d'une force

1. Effet de rotation d'une force sur un solide

1.1. Expérience

On se propose de faire tourner la porte autour de l'axe passant par les gonds
 

1.1.1. Observations

$\blacktriangleright\ $ Les forces $\vec{F}_{1}\ $ et $\ \vec{F}_{2}$ n'ont pas tourné la porte au tour de l'axe : on dit qu'elles n'ont aucun effet de rotation sur la porte par rapport à son axe de rotation $(\Delta).$
 
$-\ $ La droite d'action de la force $\vec{F}_{1}$ est parallèle à l'axe de rotation.
 
$-\ $ La droite d'action de la force $\vec{F}_{2}$ coupe l'axe de rotation.
 
$\blacktriangleright\ $ Les forces $\vec{F}_{3}\ $ et $\ \vec{F}_{4}$ peuvent faire tourner la porte autour de son axe de rotation.

1.1.2. Interprétation 

Une force a un effet de rotation sur un solide mobile autour d'un axe fixe si sa droite d'action.
 
$-\ $ n'est pas parallèle à l'axe de rotation,
 
$-\ $ ne coupe pas l'axe de rotation

1.2. Définition

On appelle moment d'une force par rapport à un axe de rotation fixe, la capacité de cette force à faire tourner un solide autour de cet axe. 

2. Expression du moment d'une force

2.1. Expérience

Réalisons le montage ci-dessous. 
 
 
Une barre métallique trouée, dont les trous sont distants les uns des autres de $1\,cm$, repose sur un axe.
 
Le principe de l'expérience consiste à maintenir dans une position horizontale.
 
Pour ce faire, on déplace le dynamomètre en mesurant le bras de levier $d$ et la valeur de la force qui permet de replacer la barre à trou à l'horizontal.
 
On obtient le tableau de valeurs.
 
Nous constatons que :
 
$-\ $ pour maintenir l'équilibre, lorsque $d$ diminue, l'intensité de la force $F$ doit augmenter 
 
$-\ $ le produit $F\cdot d$ est constant 
 
$-\ $ lorsque la barre à trou est en équilibre, le produit de la force $F$ par le bras de levier $d$ est contant : 
$$\boxed{F\cdot d=\text{constant}}$$
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}\hline F(N)&0.27&0.31&0.43&0.50&0.64\\\hline d(m)&0.14&0.125&0.9&0.8&0.6\\\hline F\cdot d(Nm)&0.038&0.039&0.039&0.04&0.038\\\hline \end{array}$$

2.2. Conclusion

$\blacktriangleright\ $ On peut caractériser l'effet de rotation d'une grandeur physique appelée moment d'une force.
 
$\blacktriangleright\ $ On appelle moment d'une force par rapport à un axe de rotation $\Delta$ le produit de la norme de cette force et de son bras de levier. 
 
On le symbole : $M_{\Delta}(\vec{F})$
$$\boxed{M_{\Delta}(\vec{F})=\pm F\cdot d}$$
Le moment d'une force une grandeur algébrique
 
$\blacktriangleright\ M_{\Delta}(\vec{F})=+F\cdot d$ : la force a tendance à faire tourner le solide dans le sens positif choisi.
 
$\blacktriangleright\ M_{\Delta}(\vec{F})=-F\cdot d$ : la force a tendance à faire tourner le solide dans le sens contraire du sens choisi comme positif.
 
L'unité $S.I$ de moment est le newton - mètre $(N.m).$

Remarque :

$-\ $ L'effet de rotation d'une force sur un solide mobile autour d'un axe ne dépend pas seulement de son intensité mais aussi de son bras de levier. 
 
La force est d'autant plus efficace que sa droite d'action est distante de l'axe.
 
$-\ $ Le bras de levier d'une force dont la droite d'action passe par l'axe est nul et cette force n'a pas d'action de rotation.

3. Couple de forces

3.1. Définition                                                                                                                          

Un couple de forces est constitué de deux forces de directions parallèles $($distantes de $d)$, de même valeur $F$ et de sens contraire.

3.2. Expression du moment du couple de force

$\blacktriangleright\ $ Cas où les deux forces sont situées de part et d'autre de l'axe de rotation
 
 
Déterminons le moment total $M_{O}(\vec{F})$, choisissons un sens de rotation positif.
 
$\begin{array}{rcl} M_{O}(\vec{F})&=&M_{O}(\vec{F}_{1})+M_{O}(\vec{F}_{2})\\\\&=&F_{1}d_{1}+F_{2}d_{2}\\\\&=&F\left(d_{1}+d_{2}\right)\\\\\Rightarrow\ M_{O}(\vec{F})&=&F\cdot d \end{array}$
 
avec $d=d_{1}+d_{2}\ $ et $\ F_{1}=F_{2}=F$ 
 
$\blacktriangleright\ $ Cas où les deux forces sont situées du même côté de l'axe de rotation
 
 
Déterminons le moment total $M_{O}(\vec{F})$, choisissons un sens de rotation positif.
 
$\begin{array}{rcl} M_{O}(\vec{F})&=&M_{O}(\vec{F}_{1})+M_{O}(\vec{F}_{2})\\\\&=&F_{1}d_{1}-F_{2}d_{2}\\\\&=&F\left(d_{1}-d_{2}\right)\\\\\Rightarrow\ M_{O}(\vec{F})&=&F\cdot d \end{array}$
 
avec $d=d_{1}-d_{2}\ $ et $\ F_{1}=F_{2}=F$ 
  
Le moment d'un couple de force par rapport à un axe $\Delta$ perpendiculaire à son plan est égal au produit de l'intensité commune des deux forces par la distance d entre leurs droites d'action. 

4. Couple de torsion

 
Sous l'effet d'un (couple), de moment, un fil cylindrique en métal se tord d'un angle a appelé angle de torsion.
 
A l'équilibre, le fil exerce sur la barre un couple de torsion de moment.
 
Dans le domaine d'élasticité du métal, le moment du couple de torsion est proportionnel à l'angle de torsion $\alpha\ :$ 
$$\boxed{M_{C}=-C\alpha}$$
$-\ M_{C}$ couple de torsion du fil en $N.m$
 
$-\ \alpha$ : angle de torsion en $rad$
 
$-\ C$ : constante de torsion du fil en $N.m/rad$

III. Théorème des moments

1. Expérience 

Une barre métallique à trou, dont les trous sont distants les uns des autres de quelques centimètres, tourne autour d'un axe $(\Delta)$ horizontale fixe en $O.$
 
D'un côté on accroche des masses à l'aide de fils. 
 
De l'autre côté on accroche des masses de façon à maintenir l'équilibre.
 
 
On obtient le tableau de mesures :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Mesure }N^{\circ}&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline d_{i}(10^{-2}m)&4.4&3.2&2.1&1.5&1.6&2.0&3.0&4.5\\\hline F_{i} (N)&0.70&0.34&0.40&0.36&0.36&0.41&0.37&0.68\\\hline M_{\Delta}(\vec{F}_{i})(10^{-2}N.m)&-3.08&-0.109&-0.84&-0.54&+0.58&+0.82&+1.05&+3.06\\\hline \sum\,M_{\Delta}(\vec{F}_{i})(10^{-2}N.m)&-3.08&-0.109&-0.84&-0.54&+0.58&+0.82&+1.05&+3.06=0.02\\\hline \end{array}$$
 
On constate à des erreurs expérimentales prés, la somme des moments de ces différentes forces est nulle.

2. Énoncé du théorème des moments

Un solide mobile autour d'un axe fixe $(\Delta)$ est en équilibre, si la somme algébrique des moments de toutes les forces extérieures agissant sur le solide est nulle.
$$\boxed{\sum\,M_{\Delta}\left(\vec{F}_{ext}\right)=0}$$

Remarque :

On peut aussi dire :
 
Si un solide mobile autour d'un axe est en équilibre sous l'action de forces, la somme des moments des forces qui entraînent le solide dans un sens est égale à la somme des moments des forces qui l'entraînent dans le sens opposé. 

3. Conditions générales d'équilibre 

Pour un solide, mobile autour d'un axe fixe, en équilibre, les conditions suivantes sont vérifiées :
 
$-\ $ la somme vectorielle des forces extérieures appliquées au solide doit être nulle.
$$\boxed{\sum\left(\vec{F}_{ext}\right)=0}\quad\text{(Condition de non rotation)}$$ 
 
$-\ $ la somme algébrique des moments, par rapport à l'axe des forces extérieures appliquées au solide doit être nulle. 
$$\boxed{\sum\,M_{\Delta}\left(\vec{F}_{ext}\right)=0}\quad\text{(Condition de non rotation)}$$

Remarque :

Ces conditions sont nécessaires mais elles ne sont pas suffisantes.
 
Un solide assujetti à tourner autour d'un axe fixe $(\Delta)$ soumis à des forces extérieures telles que la somme algébrique de leur moment par rapport à l'axe $(\Delta)$ soit nulle, n'est pas nécessairement en équilibre : 
 
Il peut être, d'après le principe d'inertie, en mouvement de rotation uniforme autour de l'axe.

IV. Quelques applications du théorème des moments

1. Le treuil 

Le treuil qui sert à puiser l'eau d'un puits. 
 
Il est formé d'un cylindre de rayon $r$, mobile autour d'un axe horizontal sur lequel est enroulé un fil qui supporte le seau d'eau. 
 
Le cylindre est en mouvement en appliquant une force perpendiculairement à la manivelle dont la longueur $R.$ 
 
 
$-\ $ Système étudie : le treuil
 
$-\ $ Bilan des forces appliquées : la force de traction $\vec{F}$ et le poids $\vec{P}$ du seau 
 
$-\ $ Le théorème des moments s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl} M_{\Delta}(\vec{F})+M_{\Delta}(\vec{P})&=&0\\\\\Rightarrow-F\times R+P\times r&=&0\\ \\\Rightarrow F&=&\dfrac{r}{R}P \end{array}$
 
Grâce au treuil, on soulève une charge en développant une force inférieure au poids de cette charge.

2. La poulie

Une poulie est une roue mobile autour d'un axe et sur la gorge de laquelle on fait passer une corde, on utilise, par exemple, sur les chantiers de construction pour élever des charges.
 
 
$-\ $ Système étudie : $($Poulie $+$ fil $+$ Solide$)$
 
$-\ $ Bilan des forces appliquées : la force de traction $\vec{F}$ et le poids $\vec{P}$ du solide
 
$-\ $ Le théorème des moments s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl} M_{\Delta}(\vec{F})+M_{\Delta}(\vec{P})&=&0\\\\\Rightarrow F\times r-P\times r&=&0\\\\\Rightarrow F&=&P \end{array}$
 
Une poulie fixe sert à changer la direction de la force à appliquer, mais elle ne change pas son intensité.
 
Souvent, il est bien plus pratique de pouvoir tirer vers le bas pour monter une charge.

3. Le levier

Le levier fut une des premières machines simples qu'inventa l'homme. 
 
De nos jours, on utilise encore des leviers qu'on trouve sous des formes très variées : une tige rigide, une planche, un tournevis, un tire-bouchon, une brouette, des tenailles, une paire de ciseaux...etc.
 
Pour faire fonctionner un levier, on applique une force au levier qui la transmet à un autre corps, par exemple à la charge qu'on veut soulever. 
 
 
$-\ $ Système étudie : le levier
 
$-\ $ Bilan des forces appliquées : la force  exercée par le levier sur la charge  et le poids  par l'opérateur
 
$-\ $ Le théorème des moments s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl} M_{\Delta}(\vec{F})+M_{\Delta}(\vec{f})&=&0\\\\\Rightarrow-F\times l+f\times L&=&0\\\\\Rightarrow F&=&\dfrac{L}{l}f \end{array}$
 
Les leviers permettent d'amplifier les forces

 

Commentaires

Bonjour Nous vous remercions pour grand effort. Vous avez beaucoup contribué dans l'éducation que Dieu vous bénisse.recevez tout nos encouragements

Bonjour Nous vous remercions pour grand effort. Vous avez beaucoup contribué dans l'éducation que Dieu vous bénisse.recevez tout nos encouragements

Tout ce que vois avez écrit sur se cite m a permis de bien comprendre la leçon et en ce moment vous m avez carrément sauvé la vie car je suis a deux jour des compositions merci beaucoup je vous adore.

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