Équilibre d'un solide soumis à des forces non parallèles - 2nd

Classe: 
Seconde
 

I. Équilibre d'un solide soumis à deux forces

1. Étude expérimentale 

1.1. Expérience

Un morceau de polystyrène est soumis aux actions de deux fils tendus.
 
Ces fils exercent sur le solide $(S)$ la force appliquée au point $A$ et la force au point $B.$
 
Le poids du solide est peut être négligé devant ces deux forces beaucoup plus importantes.
 
Deux dynamomètres permettent de mesurer les valeurs de ces deux forces 
 
 

1.2. Observations

On constate que, lorsque le solide est immobile, c'est-à-dire en équilibre : 
 
$-\ $ les fils sont dans le prolongement de l'un de l'autre
 
$-\ $ les dynamomètres donnent la même indication 
 
 

1.3. Interprétation

$-\ $ les fils dans le prolongement de l'un de l'autre impliquent que les deux forces aient la même d'action. 
 
On qu'elles sont colinéaires  
 
$-\ $ les deux forces ont la même valeur. Les deux forces sont représentées par deux segments fléchés de même longueur mais de sens opposés

2. Conditions d'équilibre

Si un corps soumis à deux forces $F_{1}\ $ et $\ F_{2}$ est en équilibre, ces forces ont :
 
$-\ $ la même droite d'action ;
 
$-\ $ des sens contraires ;
 
$-\ $ la même intensité : $F_{1}=F_{2}.$
 
Les deux vecteurs force sont donc opposés :  
$$\vec{F}_{1}=-\vec{F}_{2}\quad\text{ou}\quad\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}=\vec{0}$$

Remarque :

La somme vectorielle des deux forces $\vec{F}_{1}\ $ et $\ \vec{F}_{2}$ nulle est une condition nécessaire mais pas suffisante.
 
Les deux forces peuvent avoir la même intensité et des sens contraires, mais pas la même droite d'action ; le corps n'est pourtant pas en équilibre car, il tourne.
 
 

3. Applications

3.1. Solide suspendu à l'extrémité d'un fil

Système étudié : le solide $(S)$
 
Référentiel d'étude : référentiel terrestre 
 
Bilan des forces appliquées : $\vec{P}\ $ et $\ \vec{T}$  
 
La condition d'équilibre s'écrit : $\vec{P}+\vec{T}=\vec{0}$
 
En projetant la relation vectorielle suivant le sens de $\vec{T}$ , il vient :
$$-P+T=0\Rightarrow\,T=P$$ 
 
 

3.2. Solide sur un plan lisse horizontal

Le solide est soumis à deux forces :
 
$-\ $ la réaction du support $\vec{R}$ et le poids $\vec{P}$
 
$-\ $ Il est en équilibre.
 
$-\ $ La condition nécessaire d'équilibre permet d'écrire que :
$$\vec{P}+\vec{R}=\vec{0}$$
En projetant la relation vectorielle suivant le sens de $\vec{R}$, il vient :
$$-P+R=0\Rightarrow\,R=P$$
 
 

II. Équilibre d'un solide soumis à trois forces non parallèles

1. Étude expérimentale 

1.1. Expérience

Une plaque $S$ est soumise aux actions de trois fils tendus.
 
Ces fils exercent sur le solide $(S)$ trois forces aux différents points d'attache.
 
 
Le poids du solide est peut être négligé devant ces deux forces beaucoup plus importantes.
 
Trois dynamomètres permettent de mesurer les valeurs de ces trois forces.
 
De plus, on peut relever sur papier, les directions des trois fils, c'est-à-dire les directions des forces.

1.2. Observations

L'expérience est répétée plusieurs fois en changeant les directions et les intensités des forces.
 
On constate si le corps est à l'équilibre,
 
$-\ $ les trois forces $\vec{F}_{1}\;,\ \vec{F}_{2}\ $ et $\ \vec{F}_{3}$ se trouvent dans un même plan : on dit qu'elles sont coplanaires.
 
$-\ $ les lignes d'action ou droites qui portent les vecteurs forces passent par un même point : on dit les forces sont concourantes.
 
$-\ $ En général les intensités des trois forces sont différentes
 
 

1.3. Interprétation

Déterminons la résultante de ces trois forces.
 
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$
 
$\Rightarrow\ \vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}+\vec{F}_{3}=\vec{0}$
 
 
$-\ $ Les vecteurs forces $\vec{F}_{1}\;,\ \vec{F}_{2}\ $ et $\ \vec{F}_{3}$ forment un triangle (le dynamique des forces) fermé.
 
La somme vectorielle des forces est égale au vecteur nul :  
$$\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}+\vec{F}_{3}=\vec{0}$$

2. Condition d'équilibre 

Si un corps soumis à trois forces $\vec{F}_{1}\;,\ \vec{F}_{2}\ $ et $\ \vec{F}_{3}$ est en équilibre :
 
$-\ $ les trois forces sont coplanaires et concourantes ;
 
$-\ $ la somme vectorielle des trois forces est nulle.
 
La deuxième condition s'exprime par la relation vectorielle :
$$\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}+\vec{F}_{3}=\vec{0}$$ 

3.  Exercice d'application                                                                                                         

On attache une bille de fer $(S)$ de masse $m=300g$ à l'extrémité d'un ressort de raideur $k=100N\cdot m^{-1}$ et on applique une force horizontale   par un aimant. 
 
La bille de fer $(S)$ est en équilibre lorsque l'axe du ressort constitue $\alpha=30^{\circ}$ avec le Vertical.
 
1. Faire l'inventaire des forces appliquées à la bille de fer $(S).$
 
2. Énoncer la condition d'équilibre
 
3. Trouver l'expression de $T$ et $F$ en fonction de $m$, $g$ et $\alpha$, puis calculer leurs valeurs.
 
4. En déduire l'allongement du ressort
 
 
On donne : $g=10N\cdot kg^{-1}$

Résolution

1. Inventaire des forces appliquées au solide $(S)$
 
 
Le solide $(S)$ soumis à :
 
$-\ $ son poids $\vec{P}$  
 
$-\ $ la tension $\vec{T}$ du ressort
 
$-\ $ la force magnétique $\vec{F}$
 
2. Énoncé la condition d'équilibre 
 
Lorsqu'un solide est soumis trois forces est en équilibre alors la somme vectorielle de ces trois forces est nulle.
 
3. Expression de $T\ $ et $\ F$ en fonction de $m$, $g$ et $\alpha$ et calcul de leurs valeurs.
 
La condition d'équilibre, appliquée au solide $(S)$, s'écrit : 
$$\vec{P}+\vec{T}+\vec{F}=\vec{0}$$
En projetant suivant l'axe $y'y$, il vient : 
   
$\begin{array}{rcl} -P+T\cos\alpha+0=0&\Rightarrow&T\cos\alpha =P=mg\\ \\&\Rightarrow&T=\dfrac{mg}{\cos\alpha}\\ \\&\Rightarrow&T=\dfrac{300\cdot 10^{-3}\times 10}{\cos 30^{\circ}}\\ \\&\Rightarrow&T=3.5N\end{array}$  
 
En projetant suivant l'axe $x'x$, il vient : 
 
$\begin{array}{rcl} 0+T\sin\alpha-F=0&\Rightarrow&F=T\sin\alpha\\ \\&\Rightarrow&F=3.5\sin\alpha 30^{\circ}\\ \\&\Rightarrow&F=1.75N\end{array}$
 
4. Déduction de l'allongement du ressort
 
$\begin{array}{rcl} T=K\Delta l&\Rightarrow&\Delta l=\dfrac{T}{K}=\dfrac{3.5}{100}\\ \\&\Rightarrow&\Delta l=3.5\cdot10^{-2}m\\ \\&\Rightarrow&\Delta l= 3.5\,cm\end{array}$

 

 

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