Bac Maths D, Benin 2014

A la découverte d'un livre de mathématiques

En visite dans une librairie, Julien, un élève de la classe terminale D, a acheté un livre de mathématiques. Sur la couverture de cet ouvrage on trouve :

$-\ $deux cercles $\left(C_{1}\right)$ et $\left(C_{2}\right)$,

$-\ $un repère orthonormé direct : $\left(O\ ;\ \overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\;,\ \overrightarrow{\mathrm{e_{2}}}\right)$ et trois points $A(0\ ;\ −1)$ ; $B(\sqrt{3}\ ;\ 1)$ et $C(−2\sqrt{3}\ ;\ 2)$  sur le cercle $C_{1}.$

$-\ $le polynôme $P(z)=z^{3}+(\sqrt{3}−2\mathrm{i})z^{2}+(−5+\mathrm{i}\sqrt{3})z−8\mathrm{i}$ écrit à l'intérieur du cercle $\left(C_{1}\right)$

$-\ \left(C_{2}\right)=s\left(C_{1}\right)\;,\ s(A)=B$ et $s(B)=C$ avec $s$ une similitude plane directe.

$-\ $une courbe $(\Gamma)$ représentative d'une fonction numérique $f.$

Une fois à la maison, Julien se préoccupe des liens qui existent entre certaines des indications de la couverte ainsi qu'à un exercice sur un dé de forme tétraédrique dessiné également sur la couverture.

Tu es invité (e) à répondre aux préoccupations de Julien en résolvant les trois problèmes suivants.

1. a) Justifie que : $P(z)=(z+\mathrm{i})(z^{2}+(\sqrt{3}−3\mathrm{i})z−8).$

b) Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(z)=0.$

c) Existe-il une relation entre $P(z)$ et d'autres éléments de la couverture du livre ?

2. a) Place les points $A$, $B$ et $C.$

b) Démontre que le triangle $ABC$ est rectangle.

c) Précise le centre et le rayon de $\left(C_{1}\right).$

3. a) Détermine l'écriture complexe de la similitude $s.$

b) Détermine les éléments caractéristiques de $s.$

c) Détermine le centre et le rayon de $\left(C_{2}\right).$

4. Trace $\left(C_{1}\right)$ et $\left(C_{2}\right)$ sur la même figure.

Les quatre faces du dé de forme tétraédrique sont numérotées de $1$ à $4.$

Ce dé est supposé pipé de sorte qu'il existe un nombre réel positif $k$ tel que la probabilité $p(i)$ pour que la face portant le numéro i soit cachée est $ki.$

5. Prouve que : $k=\dfrac{1}{10}.$

6. On lance une fois ce dé et on désigne par $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la somme des numéros visibles.

a) Détermine la loi de probabilité de $X.$

b) Détermine puis représente la fonction de répartition $F$ de $X.$

7. On lance cinq fois de suite ce dé, de façons indépendantes.

Détermine la probabilité pour que l'évènement << $X$ est pair >> se réalise au moins une fois.

La fonction numérique $f$ est définie pour tout nombre réel $x>0$ par $f(x) =x(a(\ln x)^{2}+b\ln x+c)$ avec $a$, $b$ et $c$ des nombres réels.

8. a) Pour tout $x>0$ calcule $f'(x)$

b) Détermine $a$, $b$ et $c$ sachant que $f(\mathrm{e})=0$, $f'(\mathrm{e})=0$ et $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right)=\dfrac{9}{4\sqrt{\mathrm{e}}}$ ; $\mathrm{e}$ étant le nombre réel tel que : $\ln\mathrm{e}=1.$

9. Dans la suite du problème on suppose que $f$ est définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x)&=&x((\ln x)^{2}−2\ln x+1)\;,\quad\text{si }x>0\\ f(0)&=&0 \end{array}\right\rbrace$$

a) Démontre que $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}x(\ln x)^{2}=0$

b) Démontre que $f$ est continue sur $[0\ ;\ +\infty[.$

c) Étudie la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ et donne une interprétation géométrique du résultat.

d) Justifie que pour tout réel $x>0$, on a : $f'(x)=(\ln x−1)(\ln x+1).$

10. a) Étudie le sens de variations de $f.$

b) Calcule la limite de $f$ en $+\infty.$

c) Dresse le tableau des variations de $f.$

11. a) Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ et donne une interprétation géométrique du résultat.

b) Trace la courbe $(\Gamma).$

12. a) Calcule, en utilisant une intégration par parties, l'intégrale $$\int_{\tfrac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}}x\ln x\mathrm{d}x\quad\text{puis}\quad\int_{\tfrac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}}x(\ln x)^{2}\mathrm{d}x$$

b) Calcule l'aire du domaine délimité par la courbe $(\Gamma)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ et $x=\mathrm{e}.$