Bac Maths D, Congo 2012

On considère la série statistique à double variable $X$ et $Y$ définie par le tableau ci-dessous :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X&-2&0&1&a&4 \\ \hline Y&−10&-8&b&0&12 \\ \hline \end{array}$$

1) Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que le point moyen $G$ du nuage statistique, ait pour coordonnées $(1\ ;\ 2).$

2) Dans la suite, on prendra $a=2$ et $b=4.$

a. Représenter graphiquement les points du nuage de cette série statistique

b. Déterminer l'équation de la droite de régression de $X$ en $Y.$

c. Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $X$ et $Y$, puis interpréter le résultat.

1) Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation : $$(E)\ :\ Z^{2}+8\sqrt{3}-8\mathrm{i}=0$$

a. En utilisant la forme trigonométrique.

b. En utilisant la forme algébrique.

On pourra admettre que $8+4\sqrt{3}=\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)^{2}$

2) Placer les images des solutions $Z_{1}$ et $Z_{2}$ de $(E)$ sur un cercle trigonométrique.
 
3) Déduire de ce qui précède, la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$  et  $\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right).$   

1) Résoudre l'équation différentielle : $$y''+2y'+y=0$$

2) Déterminer la solution particulière $u$, sachant que $u(0)=1$  et  $u'(0)=0.$

Soit $f$, la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{llll} f(x)&=&(x+1)\mathrm{e}^{−x}&\quad\text{si }x\leq 0\\  f(x)&=&1-2x+x\ln x&\quad\text{si }x>0 \end{array}\right.$$

On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$ du plan d'unité graphique : $2\,cm.$
 
3) Préciser l'ensemble de définition de $f.$
 
4) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en $x=0.$
 
5) Étudier les variations de $f.$
 
On dressera un tableau de variation de $f.$
 
6) Pour $x\leq 0$, déterminer les coordonnées du point d'intersection de la courbe $(\mathcal{C})$ avec l'axe des abscisses et écrire une équation cartésienne de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ en ce point.
 
7) Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique  $\alpha\in]6\  ;\ 7[.$
 
On ne demande pas de calculer $\alpha.$
 
8) a. Étudier les branches infinies à $(\mathcal{C}).$

b. Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ de $f$ et la droite $(T).$

Soit $h$ la fonction numérique de la variable réelle $x$, définie par : $$\forall\,x\in\mathbb{R}\ ;\ h(x)=-f(x)$$

9) a. Dresser le tableau de variation de $h.$

b. Tracer la courbe $(\mathcal{C'})$ représentative de $h$ dans le même repère que $(C\mathcal{C})$ de $f.$

c. Calculer en $cm^{2}$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $(\mathcal{D})$ limité par les courbes $(\mathcal{C})$ ; $(\mathcal{C'})$ et les droites d'équations  $x=1$ ; $x=0.$