Bac Maths D, Mali 2015

Un paysan possède un champ où il plante des arbres fruitiers.

Pour mieux les entretenir il décide de vendre chaque année les $5\%$ des pieds existants et planter $3\ 000$ nouveaux.

Il démarre avec $50\ 000$ pieds en $2015.$

En désignant par $X_{n}$ le nombre de pieds d'arbres se trouvant dans le champ au cours de l'année $(2015+n).$  

1. a) Détermine le nombre d'arbres qu'il aura en $2016$ et en $2017.$  

b) Exprime $X_{n+1}$ en fonction de $X_{n}.$

2. On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{n}=60000-X_{n}.$  

a) Montre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.  

b) Exprime $u_{n}$ en fonction de $n$ puis en déduire $X_{n}$ en fonction de $n.$  

c) Ce paysan aura combien d'arbres fruitiers en $20$ ans ?  

d) Calcule la limite de la suite $X_{n}$ puis conclus.

Soit $f$ une fonction numérique à variable réelle $x$ satisfaisant aux conditions suivantes :

$\bullet\ f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}.$  

$\bullet\ f(1)=f(3)=0$ ;

$f(2)=-1$ ;

$f(0)=1$ ;

$f'(0)=f'(2)=0.$
   
$\bullet\ \forall\,x\in]−\infty\ ;\ 0[\cup]2\ ;\ +\infty[\;,\ f'(x)>0$ ;

et $\forall\,x\in]0\ ;\ 2[\;,\ f'(x)<0.$

$\bullet\ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0^{+}$ ;     

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-x+2]=0^{−}$  

1. Dresse le tableau de variation de $f.$  

2. $(\mathcal{C})$ représentant la courbe de $f$, précise les équations des asymptotes à $(\mathcal{C}).$  

3. Précise le signe de $(x)$ suivant les valeurs de $x.$  

4. Donne le domaine de définition des fonctions définies par : $[(x)]$ et $\dfrac{1}{f(x)}$ où $\ln$ désigne le logarithme népérien.  

I. Soient les nombres complexes $Z_{1}=\dfrac{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$ et $Z_{2}=-\sqrt{3}+\mathrm{i}.$  

1. Écris $Z_{1}$ ; $Z_{2}$ et $\dfrac{Z_{2}}{Z_{1}}$ sous forme trigonométrique.  

2. Montre qu'il existe deux suites géométriques $(u)$ et $(v)$ telles que $u_{2}=v_{2}=Z_{1}$ et $u_{4}=v_{4}=Z_{2}$ dont on déterminera les premiers termes $u_{0}$ et $v_{0}$ ainsi que la raison de chacune d'elle.

Soit la fonction numérique $f$ à variable réelle $x$ définie par : $$x+\dfrac{2(1+\ln x)}{x}.$$

1. a) Détermine l'ensemble $\mathcal{D_{f}}$ de définition de la fonction $f$ et les limites aux bornes de $\mathcal{D_{f}}.$      

b) On considère la fonction $h$ définie sur  $]0\ ;\ +\infty[$ par $h(x)=x^{2}-2\ln x.$        

$\bullet\ $ Étudie les variations de $h$ sur $]0\ ;\ +\infty[.$        

$\bullet\ $ En déduis le signe de $h(x)$ sur $]0\ ;\ +\infty[.$  

c) Étudie les variations de $f$ puis dresse son tableau de variation.  

d) Prouve que la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ est une asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

2. a) Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ de $f$ et ses asymptotes dans le même repère.  

b) On désigne par $(K)$ l'aire exprimée en unité d'aire de la partie du plan limitée par $(\mathcal{C})$, $\Delta$ et les droites d'équations $x=1$  et $x=k.$

Calcule $(k).$  

c) pour quelle valeur de $k$ a-t-on $\mathcal{A}(k)=8$ ?