Bac Maths D, Union des Comores 2011

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O\ ;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v})$ $($unité graphique $1\,cm).$

Soient $A$, $B$ et $I$ les points d'affixes respectives $−2+\mathrm{i}$ ; $1-\mathrm{i}$ ; $-1.$

A tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'=z^{2}+2z.$

Faire une figure et compléter cette tout au long de l'exercice.

1. Calculer les affixes des points $A'$ et $B'$ images respectives des points $A$ et $B.$

Que remarque-t-on ?

2. Déterminer les points qui ont pour image le point $C$ d'affixe $-10.$

3. a) Vérifier que pour tout nombre complexez, on a : $z'+1=(z+1)^{2}.$

b) En déduire une relation entre $|z'+1|$ et $|z+1|$ et lorsque $z\neq -1$, une relation entre $arg(z'+1)$ et $arg(z+1).$

c) Que peut-on dire du point $M'$ lorsque $M$ décrit le cercle $(\mathcal{C})$, de centre $I$ et de rayon $2.$
 
4. Soit $E$ le point d'affixe $-1-2\mathrm{e}^{\dfrac{\mathrm{i}\pi}{3}}$ et $E'$ l'image de $E.$

a) Calculer la distance ${IE}$ et une mesure en radian de l'angle $(\vec{u}\ ;\ \overrightarrow{IE}).$
 
b) En déduire la distance ${IE'}$ et une mesure en radian de l'angle $(\vec{u}\ ;\ \vec{IE}').$

Un sac contient $4$ jetons noires numérotés $2$, $3$, $4$ et $5.$

Un autre sac contient $3$ jetons rouges numérotés $2$, $3$ et $5.$

On extrait un jeton de chaque sac.

Soit $n$ le nombre porté par le jeton noir et $r$ celui porté par le jeton rouge.

Les éventualités sont les couples $(n\ ;\ r)$ possible.

On suppose que tous ces couples $(n\ ;\ r)$ ont la même probabilité d'être obtenus.

Soit $X$ la variable aléatoire qui associe le nombre $n+r$ à chaque tirage de deux jetons.

1. Quel est le nombre d'éventualités ?  

2. Déterminer l'ensemble des valeurs que peut prendre $X.$

3. Déterminer la loi de probabilité de $X.$

4. Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et la variance $V(X)$ de la variable aléatoire.

On considère l'équation différentielle $(E)\ ∶\ y''+2y'+y=x+3.$

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$g(x)=\mathrm{e}^{mx}-mx+1$$ où $m\in\mathbb{R}.$

1. Déterminer $m$ pour que $g$ ait une solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $(E).$

2. On introduit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\mathrm{e}^{-x}+x+1.$

On désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$ d'unité graphique $1\,cm.$

a) Vérifier que pour tout $x\in\mathbb{R}\;,\ f(x)=\mathrm{e}^{-x}(1+x\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x})$ puis en déduire la limite de $f$ en $-\infty.$

b) Calculer la limite de $\dfrac{f(x)}{x}$ en $-\infty.$

$($on pourra utiliser le changement de variable $(t=-x)).$  

Quelle est la conséquence graphique ?  

c) Calculer la limite de $f$ en $+\infty.$

d) Montrer que la droite $(D)\ :\ y=x+1$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ et étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à $(\mathcal{D}).$

3. Étudier le sens de variation de $f$ puis dresser son tableau de variation.

4. Tracer la droite $(\mathcal{D})$ et la courbe $(\mathcal{C}).$

5. Calculer l'aire en $cm^{2}$ du domaine délimité par $(\mathcal{C})$, $(\mathcal{D})$ et les droites d'équations : $x=0$ et $x=\ln 7.$

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $$I_{n}=\int^{n+1}_{n}(f(x)-(x+x1)\mathrm{d}x)$$

1. Calculer $I_{0}.$

2. Exprimer $I_{n}$ en fonction de $n.$

3. Montrer que $\left(I_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.

4. On pose $S_{n}=I_{0}+I_{1}+I_{2}+\ldots+I_{n}(n\in\mathbb{N}).$

a) Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n.$

b) Déterminer la limite de $\left(S_{n}\right)$ en $+\infty.$