Bac Maths D, Union des Comores 2016

Une urne contient dix jetons, chacun de forme identique.

Cinq jetons portent le numéro $1$, trois jetons le numéro $2$ et deux jetons le numéro $3.$

L'expérience consiste à tirer au hasard de $l4$ urne, successivement, sans remise, trois jetons.  

Ceux-ci sont alignés de gauche à droite de façon à obtenir un nombre de trois chiffres.

On suppose que tous les tirages sont équiprobables.

1. a) Calculer la probabilité de l'évènement $A$ : « obtenir le nombre $123$ ».

b) Soit l'évènement $B$ : « Obtenir un nombre dont les trois chiffres sont deux à deux distincts ».

Montrer que $P(B)=6\times P(A).$

2. Calculer les probabilités des évènements $C$, $D$ et $E$ suivant :  

a) $C$ : « Obtenir le nombre $111$ »

b) $D$ : « Obtenir le nombre $112$ »

c) $E$ : « Obtenir le nombre $122$ »

3. On définit la variable aléatoire $X$, qui est la somme des chiffres du nombre obtenu.  

a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X.$

b) Déterminer la loi de probabilité et la fonction de répartition de cette variable aléatoire.

c) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.

Dans le plan complexe rapporté au repère directe $(O\ ;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v})$, placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives : $Z_{A}=4$ ;  $Z_{B}=-2+2\mathrm{i}$ et $Z_{C}=-2.$

1. a) Écrire les nombres complexes $Z_{A}$ ; $Z_{B}$ et $Z_{C}$ sous forme trigonométrique.

b) Trouver la forme algébrique du nombre complexe : $\dfrac{Z_{B}−Z_{C}}{Z_{A}−Z_{C}}.$

En déduire la nature du triangle $ABC.$

2. Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{3}.$

a) Déterminer l'écriture complexe de la rotation $R.$

b) Trouver les affixes $Z_{A'}$ ; $Z_{B'}$ et $Z_{C'}$ des points $A'$ ; $B'$ et $C'$ images respectives des points $A$, $B$ et $C$ par la rotation $R$ $\left(\text{on vérifiera que }Z_{B'}=(1-\sqrt{3})+\mathrm{i}(1-\sqrt{3})\right).$

3. Démontrer que : $Z_{B'}-Z_{C'}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{2}}\left(Z_{A'}-Z_{C'}\right).$
 
En déduire la nature du triangle $A'B'C'.$
 
4. Déterminer une équation cartésienne de l'image de la droite $(AC)$ par la rotation $R.$

A. On considère la fonction $g$ définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par $g(x)=-\ln x+\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}$
 
1. Déterminer les limites de $g$ en $0$ et en $+\infty.$

2. a) Étudier le sens de variation de $g.$

c) Dresser le tableau de variation de $g.$  

3. a) Démontrer que l'équation $g(x)=0$ a une seule solution notée $\alpha$ sur $]0\ ;\ +\infty[.$

b) Déterminer l'entier naturel $n$ tel que $\dfrac{n}{10}\leq\alpha\leq\dfrac{n+1}{10}$

c) En déduire le signe de $g(x).$
 
B. $F$ est la fonction définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par :$$f(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(\lnx-\dfrac{2}{x}\right)$
 
On désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}).$

L'unité graphique $1\,cm$ sur $(Ox)$ ; $5\,cm$ sur $(Oy).$
 
1. a) Déterminer les limites  de $f$ en $0$ et en $+\infty.$
 
Pour calculer la limite de $f$ en $+\infty$ on pourra remarquer que :
 
Pour tout $x>0$ ; $f(x)=\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\left(\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}\right)-\dfrac{2}{x\mathrm{e}^{x}}$

b) Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

2. a) Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et vérifier que : pour tout $x>0$ ; $f'(x)=\mathrm{e}^{-x}g(x).$

b) En déduire le sens de variation de $f.$

c) Dresser le tableau de variation de $f.$

3. a) Montrer que $(\alpha)=\left(\dfrac{\alpha+2}{\alpha^{2}}\right)\mathrm{e}^{-\alpha}.$

b) Tracer la courbe $(\mathcal{C})$, on prendra $\alpha=3.2.$

C. On considère la suite $\left(U_{n}\right)$ définie pour tout $n\geq 0$ par : $$U_{n}=\int^{1}_{0}x^{n+1}\mathrm{e}^{x}\mathrm{d}x.$$

1. Calculer $U_{0}$ à l'aide d'une intégration par parties.

2. a) Trouver une relation entre $U_{n+1}$ et $U_{n}.$

b) En déduire les valeurs de $U_{1}$ et $U_{2}.$

3. Montrer que pour tout $n\geq 0.$
$$\dfrac{1}{n+2}\leq U_{n}\leq\dfrac{n}{x+2}$$

4. En déduire la convergence de $\left(U_{n}\right).$