Corrigé BFEM maths 2014

 

Exercice 1

Dans une petite et moyenne entreprise ou PMI on étudie la répartition des salaires des travailleurs. 
 
Le schéma ci-dessous représente l'histogramme des E.C.C et celui des E.C.D tracés dans un même repère.

 

 
1) D'après le schéma :
 
a) le caractère étudié est le salaire des travailleurs. Il est de nature quantitative.
 
b) on décompte 72 travailleurs dans cette PMI.
 
c) 48 travailleurs gagnent au moins 100000FCFA.
 
d) 42 travailleurs gagnent moins de 150000FCFA.
 
e) 6 travailleurs gagnent entre 150000F  et  200000F.
 
2) Histogramme des effectifs cumulés croissants

 

 
Échelle : 1cm50000F0.5cm3 travailleurs
 
3) Le salaire R constitue la médiane de la série statistique étudiée. Ce salaire sépare alors la population des travailleurs en deux groupes de même effectif.
 
4) Calculons la valeur de R
 
R étant la médiane donc, R est l'abscisse du point U d'ordonnée 36.
 
De plus, on constate que R[100; 150[ et que U[FI] 
 
On a : U[FI] alors, les points F, U  et  I sont alignés.
 
Donc, les vecteurs FI(1501004224)  et  FU(R1003624)  sont colinéaires.
 
On a : FI(5018)  et  FU(R10012) colinéaires si, et seulement si, 50×1218×(R100)=0
 
Soit alors, 60018×R+1800=0
 
Ce qui donne : 18×R=2400
 
d'où, R=240018=133.333
 
Ainsi, R=133000FCFA à 1 millier de francs près par défaut.

Exercice 2

On donne les réels : a=525b=1+255etc=55+25
 
1) Justifions que a  et  b sont des inverses l'un de l'autre.
 
On a : a et b sont inverses si, et seulement si, a×b=1
 
Donc, calculons le produit a×b
 
On a : 
 
a×b=(525)(1+255)=5×1+5×2551×25(25)×(255)=5+25254=54=1
 
Ainsi, a×b=1, d'où a  et  b sont inverses.
 
2) Justifions que a  et  c sont opposés.
 
a  et  c sont opposés si, et seulement si, c=a ou encore a+c=0.
 
On a : c=55+25
 
Rendons rationnel le dénominateur en le multipliant par son expression conjuguée.
 
On obtient : 
 
c=55+25=5(525)(5+25)(525)=25+10552(25)2=25+1052520=25+1055=5+25 = (525)
 
donc, on voit bien que c=a
 
Ce qui montre alors que a  et  c sont opposés.
 
3) Justifions que c=1b
 
On a : b=1+255
 
donc, en réduisant au même dénominateur on obtient : 
 
b=1+255=55+255=5+255
 
ainsi, 1b=15+255  or, on sait que 1ND=DN
 
par suite : 15+255=55+25
 
ce qui donne alors, 1b=55+25
 
par conséquent, 1b=55+25=c
 
Ce qui montre bien que c=1b
 
4) Justifions que b×c+1=0.
 
On a : c=1b donc, c×b=1
 
En ajoutant 1 à chaque membre on obtient : 
 
c×b+1=1+1=0
 
5) Encadre c à 102 près sachant que 2.236<5<2.237 
 
On a :
 
2.236<5<2.2372×2.236<2×5<2×2.2375+2×2.236<5+2×5<5+2×2.2379.472<5+2×5<9.474
 
alors, en inversant chaque membre tout en changeant le sens des inégalités, on obtient : 19.474<15+25<19.472
 
Ce qui donne, après multiplication de chaque membre par (5), sachant que là encore les inégalités changent de sens : 59.472<55+25<59.474
 
Soit alors : 0.5278<55+25<0.5277
 
Par conséquent, un encadrement de c à 102 près sera donné par : 0.53<c<0.52

Exercice 3

1) Faisons une figure

 

 
2) Calculons la mesure de l'angle ^FAG.
 
On sait que dans un triangle rectangle les angles aigus sont complémentaires. 
 
Donc : ^EFG+^EGF=90
 
Aussi, dans un triangle la somme des angles fait 180.
 
Donc, en considérant le triangle FAG on aura :  ^AFG+^AGF+^FAG=180
 
Or, ^AFG=12^EFG  et  ^AGF=12^EGF
 
ainsi, 
 
^FAG=180(^AFG+^AGF)=180(12^EFG+12^EGF)=18012(^EFG+^EGF)or , ^EFG+^EGF=90=1801290=18045 = 135
 
D'où, ^FAG=135

Exercice 4

Une bougie décorative a la forme d'un cône de révolution de sommet S, de hauteur 27cm. Sa base est un disque de centre O et de rayon 15cm.

 

 
Cette bougie est formée de trois parties de couleurs différentes séparées par des plans parallèles au plan de sa base et qui coupent sa hauteur respectivement en M  et  N tels que SM=MN=ON
 
1) a) Montre que la longueur SM=9cm 
 
On a : SO=SM+MN+NO  or,  SM=MN=ON
 
donc, SO=3SM  d'où : SM=SO3=273
 
Par conséquent, SM=9cm
 
Justifions que le cône de hauteur SM est une réduction de la bougie de coefficient 13
 
En effet, le cône de hauteur SM est obtenu en sectionnant la bougie parallèlement au plan de sa base. Donc, c'est une réduction de la bougie.

Son coefficient de réduction est donné par k=SMSO=927=13
 
b) Calculons le coefficient de réduction du cône de hauteur SN.
 
Le cône de hauteur SN étant une réduction de la bougie alors, le coefficient de réduction est donné par k=SNSO.
 
Or, on sait que SN=SM+MN  et que  SM=SN=9cm
 
Donc, SN=9+9=18cm
 
Ainsi, k=1827=23
 
2) a) Montre que le rayon de la base du cône de hauteur SM est 5cm.
 
On sait que dans le cadre d'une réduction de coefficient k les distances sont multipliées par k donc, si R est le rayon de base de la bougie et r celui du cône de hauteur SM alors, on aura : r=k×R
 
Ainsi, r=13×15=5cm
 
Ce qui montre que le rayon de la base du cône de hauteur SM est 5cm.
 
b) Calcule son volume V1
 
On sait que  Vcône=13×π×(Rayon de base)2×(Hauteur)
Donc, 
 
V1=13×π×r2×SM=13×π×(5)2×(9)=3.14×25×93=235.5
 
D'où : V1=235.5cm3
 
3) a) Calculons le volume V2 de la partie intermédiaire.
 
Soit V le volume du cône de hauteur SN et de rayon de base r.
 
On a : 
 
V=13×π×r2×SNavec r=k×R=23×15=10=13×π×(10)2×(18)=3.14×100×183=1884
 
Donc, V=1884cm3
 
Alors, 
 
V2=VV1=1884235.5=1648.5
 
D'où : V2=1648.5cm3
 
b) Calculons le volume V3 de la partie inférieure.
 
Calculons d'abord le volume total V de cette bougie.
 
On a :
 
V=13×π×R2×SO=13×π×(15)2×(27)=3.14×225×273=6358.5
 
Donc, V=6358.5cm3
 
Par suite, on aura : 
 
V3=V(V1+V2)=6358(235.5+1648.5)=6358.51884=4474.5
 
Ainsi, V3=4474.5cm3
 
c) Exprimons V2 et V3 en fonction de V1.
 
On a : V2=VV1  or  V=k3V  et  V1=k3V  car dans le cas d'une réduction de coefficient k les volumes sont multipliés par k3.
 
De ces dernières égalités on tire :  V=1k3V1
 
Ainsi,
 
V2=VV1=k3VV1=k3k3V1V1=(kk)3V1V1=(2313)3V1V1=8V1V1=7V1
 
D'où : V2=7V1
 
Aussi, on a : V3=V(V1+V2)  or  V=1k3V1  et  V2=7V1
 
Donc, 
 
V3=V(V1+V2)=1k3V1(V1+7V1)=1(13)3V18V1=27V18V1=19V1
 
Ainsi, V3=19V1

Auteur: 
Diny Faye

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