Bac Math $1^{er}$ groupe S2 2008

Exercice 1 (05 points)

1) On considère l'équation 
$$(E)\ :\ z^{3}+(-6-4\mathrm{i})z^{2}+(12+21\mathrm{i})z+9-45\mathrm{i}=0$$
 
a) Déterminer la solution imaginaire pure $z_{0}$ de l'équation $(E)\quad(01\;pt)$
 
b) Achever la résolution de $(E)$ (on appellera $z_{1}$ la solution dont la partie imaginaire est positive et $z_{2}$ la troisième solution)$\quad(01\;pt)$
 
2) Le plan complexe $P$ est rapporté au repère orthonormé $(O\;,\vec{u}\ ,\ \vec{v})$
 
On considère les ponts $A\;,\ B$ et $C$ d'affixes respectives $3\mathrm{i}\;,\ 3+3\mathrm{i}$ et $3-2\mathrm{i}$
 
a) Placer les points $A\;,\ B$ et $C$ dans le repère $\quad(0.5\;pt)$
 
b) Calculer $\dfrac{z_{A}-z_{B}}{z_{C}-z_{B}}$
 
En déduire la nature de $ABC\quad(01.5\;pt)$
 
3 Soit $f$ la similitude directe qui laisse invariant le point $B$ et qui transforme $A$ en $C$
 
a) Donner une écriture complexe de $f\quad(0.5\;pt)$
 
b) Donner les éléments géométriques caractéristiques de $f\quad(0.5\;pt)$

Exercice 2 (05 points)

1) Soient les équations différentielles 
 
$(E_{0})\ :\ y'+y=0\ $ et $\ (E)\ :\ y'+y=\mathrm{e}^{-x}\cos x$
 
a) Trouver les réels $a$ et $b$ pour que $h$ soit solution de $(E)$, avec $h(x)=(a\cos x+b\sin x)\mathrm{e}^{-x}\quad(0.5\;pt)$
 
b) Démontrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f-h$ est solution de $(E_{0})\quad(0.5\;pt)$
 
c) Résoudre $(E_{0})\quad(0.5\;pt)$
 
d) Déduire des questions précédentes la solution générale de $(E)\quad(0.5\;pt)$
 
e) Déterminer la solution $g$ de $(E)$ telle que $g(0)=0\quad(0.5\;pt)$
 
2) Soit $\ell$ la fonction définie par $\ell(x)=\mathrm{e}^{-x}\sin x$
 
a) Exprimer $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ en fonction de $\cos x$ et $\sin x\quad(0.5\;pt)$
 
b) Étudier les variations de $\ell$ sur $[0\;,\ 2\pi]\quad(01.5\;pt)$
 
c) Calculer $$I=\int_{0}^{2\pi}\ell(x)\mathrm{d}x\quad(0.5\;pt)$$

Exercice 3  (05.5 points)

On dispose de trois urnes $U_{1}\;,\ U_{2}$ et $U_{3}$
 
$U_{1}$ contient 3 boules vertes et 2 boules rouges;
 
$U_{2}$ contient 4 boules vertes et 5 boules jaunes ;
 
$U_{3}$ contient 5 boules jaunes , 4 boules rouges et 1 boule verte
 
Description de l'épreuve
 
L'épreuve consiste à tirer une boule dans $U_{1}$
 
Si elle est verte on la met dans $U_{2}$ puis on tire une boule dans $U_{2}$
 
Si elle est rouge, on la met dans $U_{3}$ puis on tire une boule dans $U_{3}$
 
Question
 
A) 1) Calculer la probabilité d'avoir une boule verte au deuxième tirage sachant que la première tirée est verte $\quad(0.5\;pt)$
 
2) Calculer la probabilité d'avoir une boule verte au deuxième tirage sachant que la première est rouge $\quad(0.5\;pt)$
 
3) En déduire la probabilité d'avoir une boule verte au deuxième tirage $\quad(01\;pt)$
 
4) Calculer la probabilité d'avoir une boule jaune au second tirage $\quad(0.5\;pt)$
 
5) Calculer la probabilité d'avoir une boule rouge au deuxième tirage $\quad(0.5\;pt)$
 
B) Au cours de cette épreuve si on obtient au deuxième tirage :
 
Une boule verte, on gagne 1000 F
 
Une boule jaune, on gagne 500 F
 
Une boule rouge, on perd 500 F 
 
Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque boule obtenue au second tirage, associe un gain défini ci-dessus
 
1) Déterminer la loi de probabilité de $X\quad(0.5\;pt)$
 
2) Calculer l'espérance mathématique de $X\quad(0.5\;pt)$
 
C) Cette épreuve est faite par chacun des 15 élèves d'une classe dans les mèmes conditions et d'une manière indépendante.
 
Les résultats seront donnés au centième prés par défaut
 
1) Calculer la probabilité pour que 8 élèves obtiennent une boule verte au deuxième tirage $\quad(0.5\;pt)$
 
2) Calculer la probabilité pour que seulement les 8 premiers obtiennent une boule verte au deuxième tirage $\quad(0.5\;pt)$
 
3) Calculer la probabilité pour qu'au moins un élève ait une boule verte au second tirage$\quad(0.5\;pt)$

Exercice 4  (04.5 points)

Dans cet exercice, le détail des calculs n'est pas exigé.On donnera les formules utilisées pour répondre aux questions. Les résultats seront donnés à $10^{-1}$ prés
 
Le tableau ci-dessous donne le poids moyen $(y)$ d'un enfant en fonction de son age $(x)$
 
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x\text{(années)}& 0 & 1 & 2 & 4 & 7 & 11 & 12 \\ \hline y(kg) & 3.5 & 6.5 & 9.5 & 14 & 21 & 32.5 & 34 \\ \hline \end{array}$$
 
1) Représenter le nuage de points de cette série statistique dans le plan muni du repère orthonormé $\quad(01\;pt)$
 
Unité graphique : en abscisse $1\;cm$ pour 1 année et en ordonnée $1\;cm$ pour $2\;kg$ 
 
2) Déterminer les cordonnées du point moyen $G$ puis placer $G\quad(0.5\;pt)$
 
3) a) Déterminer le coefficient de corrélation linéaire $r\quad(0.5\;pt)$
 
b) Interpréter votre résultat $\quad(0.5\;pt)$
 
4) Donner une équation de la droite de régression $(D)$ de $y$ en $x\quad(0.5\;pt)$
 
Tracer $(D)\quad(0.5\;pt)$
 
5) a) Déterminer graphiquement, à partir de quel age le poids sera supérieur à $15\;kg$
 
Expliciter votre raisonnement $\quad(0.5\;pt)$
 
b) Retrouver ce résultat par le calcul $\quad(0.5\;pt)$
 
 

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