Corrigé Bac Maths S2 1er groupe 2015

Exercice 1 (3.5pts)

1) L'évènement contraire de "A sachant B" est ¯A sachant B.
 
2) Soient E et F deux évènements indépendants d'un même univers, on a : p(EF)=p(E)×p(¯F)+p(F)
 
3) Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et pn=4  et  p]0, 1[. Si p(X=1)=8p(X=0)  alors, p=23
 
4. Interprétations géométriques :
 
a) AM=1 
 
b) AM=BM
 
c) OM=AB
 
d) (MB, MA)=(MB, MA) [2π]

Exercice 2 (5pts)

1. Soit p(z)=z3+3z23z520i, zC.
 
a) p(2+i)=(2+i)3+3(2+i)23(2+i)520i=55+24i24i=0:

D'où 2+i est une racine de p(z)
 
b) p(2+i)=0 donc p(z)=(z2i)q(z) avec q(z)=z2+(5+i)z+6+7i.

p(z)=0 si et seulement si z2i=0 ou z2+(5+i)z+6+7i=0.

On pose z2+(5+i)z+6+7i=0.
Δ=18i
Les racines de Δ sont 3(1i) et 3(1i). D'où on a :
z1=4+i et z2=12i.
L'ensemble des solutions de l'équation p(z)=0 est :
S={2+i, 4+i, 12i}
 
2) Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé (O; u, v)

Soient A(2+i), B(12i) et C(4+i).
 
a) Plaçons les points A, B et C

 

 
AB=32 et BC=32
 
b) On a

arg(zCzBzAzB)=arg(zBCzBA)=argzBCargzBA=(u, BC)(u, BA) [2π]==(BA, BC) [2π]
 

c) arg(zCzBzAzB)=arg(1+i1+i)=arg(i)=π2 [2π].
 
d) D'après a) et b) ABC est un triangle rectangle isocèle en B.
 
3) a)  r : M(z)M(z) telle que z=az+b.
 
(1) {r(B)=Br(A)=C(2) {azB+b=zBazA+b=zC
D'où a=zBzCzBzA=1+i1+i=i et b=zB(1a)=(12i)(1i)=3i.

Donc l'application f associée à r est définie par f(z)=iz3i
 
b) Les éléments caractéristiques de r sont :

  Le centre B d'affixe 12i.

  L'angle θ=π2
 
4. T : M(z)M(z) telle que z=iα2z+α, αC.
 
a) Si T est une homothétie de rapport 2 alors iα2=2.

iα2=2  α2=2i  α2=(1i)2.
 
D'où : α=1i ou  α=1+i

b) Si |α|=2 et argα=π4 alors α=1i. D'où z=2z+1i

Donc T est une homothétie de centre Ω d'affixe 1+i et de rapport k=2.
 
5) g=rT avec α=1i.
 
a) Soit t l'application de C dans C associée à T. On a :

h(z)=ft(z)=f(2z+1i)=i(2z+1i)3i


 d'où h(z)=2iz2
b) g est une similitude directe de :

  centre Ω0 d'affixe 2545i,

  rapport k=2,

  angle θ=π2.
 
g=S(Ω0(2545i), 2, π2)

Exercice 3 (2.5pts)

1) Le coefficient de corrélation linéaire r est défini par r=Cov(X, Y)σXσY.

D'où : r0.69.
 
2) a) La droite de régression de Y en X, (DY/X), a pour équation y=92.59x4.35.
 
b) Il faut investir 3.29 milliards de FCFA si l'on désire un chiffre d'affaire de 300 milliards.

Exercice 4 (9pts)

A) 1) Soit I(α)=α0et(t+2)dt.
 
En intégrant par parties I(α)=α0et(t+2)dt, on obtient : I(α)=eα(α+1)1.

D'où : I(x)=ex(x+1)1.
 
2) k étant une fonction dérivable sur R, soit h telle que h(x)=k(x)ex, xR
 
a) Si h vérifie la condition h(x)+h(x)=x+2 alors on a : k(x)exk(x)ex+k(x)ex=x+2, d'où k(x)=(x+2)ex
 
b) Déduisons-en h. Puisque k(x)=(x+2)ex.

D'après 1) I est une primitive de k , donc k(x)=ex(x+1)1+c, avec c une constante.

Or, h(0)=2 nous donne k(0)=2 donc c=2. Ainsi k(x)=ex(x+1)+1
D'où : h(x)=x+1+ex
 
B) I) 1) Étude les variations de la fonction g, définie par g(x)=x+1+ex, sur R.

Domaine de définition de g :

g étant définie partout dans R, d'où Dg=R.
 
Continuité et dérivabilité :

  La fonction x x+1 est une fonction polynôme, elle est continue et dérivable sur R
 
  La fonction x x est continue et dérivable sur R, de même que la fonction x ex. Par composée, la fonction x ex est continue et dérivable sur R,
 
  Par somme g est continue et dérivable sur  R.
 
Calcul de g(x)
g(x)=ex1ex
D'où : g(x)0 pour tout x0 et g(x)<0 pour tout x<0.
 
Tableau de variations de g :
 
lim
\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}x+1+\mathrm{e}^{-x}=+\infty
 
\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x  & -\infty &  & 0 &  & +\infty \\ \hline g'(x) &  & - & 0 & + &    \\ \hline  & +\infty  &   &   &   & +\infty   \\ g &   &  \searrow &   & \nearrow &   \\   &   &  & 2 &   &      \\ \hline \end{array}
 
2) \forall\;x\in\mathbb{R}\;,\  g(x)\geq 2 d'après le tableau de variations de g, ce qui implique g est strictement positif.
 
II) f(x)=\ln(x+1+\mathrm{e}^{-x}).
 
1) Les variations de la fonction f :

–\  D_{f}=\mathbb{R}.

–\ \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=+\infty\;,\ \lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty

–\ f est continue et dérivable sur \mathbb{R} par composée.

–\ Dérivée :

f'(x)=\dfrac{1-\mathrm{e}^{-x}}{x+1+\mathrm{e}^{-x}}
 
–\ Sens de variations de f :

f'(x) a le même signe que 1-\mathrm{e}^{-x}.

f'(x)\geq 0 si x\geq 0\;,

f'(x)<0 si x<0.
 
–\ Tableau de variations de f :
\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x  & -\infty &  & 0 &  & +\infty \\ \hline f'(x) &  & - & 0 & + &    \\ \hline  & +\infty  &   &   &   & +\infty   \\ f &   &  \searrow &   & \nearrow &   \\  &   &  & \ln 2 &   &      \\ \hline \end{array}
 
2) M\begin{pmatrix} x\\ \ln x \end{pmatrix}\;,\ N\begin{pmatrix} x\\ \ln(x+1+\mathrm{e}^{-x})\end{pmatrix}
 
a) \overline{MN}=\ln(x+1+\mathrm{e}^{-x})-\ln x.

D'une part, la fonction \ln étant croissante et x+1+\mathrm{e}^{-x}>x\;, d'où \ln(x+1+\mathrm{e}^{-x})>\ln x\;,  donc \overline{MN}>0\qquad (1)

D'autre part, \overline{MN}=\ln\left(dfrac{x+1+\mathrm{e}^{-x}}{x}\right).

Or si x>0 alors \mathrm{e}^{-x}<1, d'où x+1+\mathrm{e}^{-x}<x+2\;, ainsi \ln\left(dfrac{x+1+\mathrm{e}^{-x}}{x}\right)<\ln\left(dfrac{x+2}{x}\right)\;, donc \overline{MN}<\ln\left(\dfrac{x+2}{x}\right)\qquad (2)

(1) et (2) donnent : 0<\overline{MN}<\ln\left(\dfrac{x+2}{x}\right).
 
b) \lim_{x\rightarrow+\infty}\ln\left(\dfrac{x+2}{x}\right)=0
donc  0<\lim_{x\rightarrow+\infty}\overline{MN}<0 d'où d'après le théorème des gendarmes \lim_{x\rightarrow+\infty}\overline{MN}=0
 
3) a) Démontrons que f(x)=-x+\ln(x\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}+1)\;,\ \forall\;x\in\mathbb{R}.
On sait que  f(x)=\ln(x+1+\mathrm{e}^{-x})=\ln\left(\dfrac{(x+1)\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}}\right).

Cherchons le signe de m(x)=(x+1)\mathrm{e}^{x}+1.

On a m'(x)=(x+2)\mathrm{e}^{x}\;, et elle s'annule en -2.

m étant décroissante sur ]-\infty;\ -2] et croissante sur [-2;\ +\infty[ alors m admet un minimum en -2 et m(-2)=\dfrac{\mathrm{e}^{2}-1}{\mathrm{e}^{2}}.

Donc, pour tout x\;,\ m(x)>0. Ainsi donc f(x)=-x+\ln(x\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}+1)
 
b) D'après a) f(x)=-x+\ln(x\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}+1). Or \lim_{x\rightarrow-\infty}[f(x)+x]=\lim_{x\rightarrow-\infty}\ln(x\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}+1)=0. Donc (C_{f}) admet une asymptote oblique (\Delta)\;, d'équation y=-x au voisinage de -\infty.
 
Position de (C_{f}) par rapport à (\Delta) :

Cherchons le signe de \ln((x+1)\mathrm{e}^{x}+1).

\ln((x+1)\mathrm{e}^{x}+1)\geq 0 si (x+1)\geq 0.

Alors, (C_{f}) est en dessous de (\Delta) au voisinage de -\infty.

Au voisinage de +\infty\;,\ \lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x+1)}{x}=0

Donc, (C_{f}) admet une branche infinie de direction l'axe (Ox).

 

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