Dénombrement 1e-S

Classe: 
Première
 

I. Introduction

L'objet du dénombrement est, comme son nom l'indique, de compter le nombre d'éléments d'un ensemble bien défini c'est-à-dire d'un ensemble dont les éléments possèdent une propriété ne posant aucun problème d'ambiguïté.
 
Compter peut s'avérer assez délicat dans des cas complexes où l'on ne « voit pas » les objets qu'on souhaite dénombrer. 
 
Voici par exemple des exercices simples de dénombrement :
 
$\bullet$ Combien de mots de quatre lettres distinctes ou non peut-on constituer avec l'alphabet ?
 
$\bullet$ Dix athlètes prennent le départ d'une course. 
 
Combien y a-t-il d'arrivées possibles ?
 
$\bullet$ Combien y a-t-il de façons de sélectionner une équipe de $6$ joueurs parmi les $10$ membres d'un club ?
 
Nous allons mettre en place des outils et méthodes pour résoudre ce type de problèmes.
 
Le dénombrement utilise un vocabulaire spécialisé tel que : combinaison, $8$-liste, arrangement, permutation, ensemble, cardinal d'un ensemble, réunion, intersection, complémentaire, ...
 
Les outils utilisés en dénombrement sont très variés : des entiers naturels particuliers tels que $n$!, $A_{n}^{p}$, $C_{n}^{p}$ et $n^{p}$, des représentations telles que le diagramme de Venn, les diagrammes sagittaux, les arbres de choix, les tableaux à double entrée ...
 
Les problèmes de dénombrement se ramènent aussi parfois à des situations où on doit déterminer le nombre de façons d'obtenir $p$ éléments choisis parmi $n$ éléments donnés.
 
Devant de telles situations, les questions qu'on se pose sont :
 
$-\ \ $ Les éléments sont-ils choisis sans ordre ou avec ordre ?
 
$-\ \ $ Sont-ils différents ou un élément donné peut-il être choisi plusieurs fois ?
 
On a souvent reproché à certains énoncés d'exercices de dénombrement d'être flous et ambigus à tel point que l'on se demande parfois ce que veut dire le texte.
 
Beaucoup d'efforts doivent être faits pour avoir des énoncés clairs, ne posant aucun problème d'ambigüité, et étant le moins possible sujets à des interprétations différentes pour les résoudre.

II. Ensemble

1) Notion d'ensemble

Une collection d'objets ayant tous une propriété bien définie, est un ensemble.
 
Chaque objet figurant dans un ensemble est appelé élément de cet ensemble.
 
Un ensemble est souvent noté par une lettre majuscule et un élément de cet ensemble par une lettre minuscule.

Exemple : 

Notons $C$ l'ensemble des chiffres du nombre $12244$
 
$C$ contient les éléments $1$, $2$ et $4.$

2) Écritures d'un ensemble

a) Écriture en extension d'un ensemble

On peut écrire un ensemble en donnant tous ses éléments ; on dit alors qu'on écrit cet ensemble en extension.
 
Écrire un ensemble en extension consiste à écrire entre deux accolades tous les éléments de cet ensemble, chaque élément étant écrit une seule fois, deux éléments quelconques étant séparés par une virgule ou un point-virgule ; un élément donné pouvant être mis à n'importe quelle place.
 
Dans l'exemple précédent, $C=\{1\;,\ 2\;,\ 4\}\ \text{ ou }\ C=\{4\;,\ 2\;,\ 1\}\ \text{ ou }\ C=\{2\;,\ 4\;,\ 1\}$,... 
 
En changeant l'ordre des éléments d'un ensemble, cet ensemble reste inchangé.

b) Écriture en compréhension d'un ensemble

On peut écrire un ensemble en utilisant une propriété commune à tous ses éléments ; on dit qu'on a écrit cet ensemble en compréhension

Exemple : 

$\mathbb{E}$ étant l'ensemble des entiers naturels compris strictement entre $2$ et $8$, l'écriture en compréhension de $\mathbb{E}$ est : 
$$\mathbb{E}=\{n\in\mathbb{N}/2<n<8\}$$
 
On lit alors $\mathbb{E}$ est l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $2<n<8$

3) Ensemble fini-Ensemble infini

Si on peut compter le nombre $n$ d'éléments d'un ensemble $\mathbb{E}$, on dit que cet ensemble est fini.
 
Le nombre d'éléments $n$, d'un ensemble fini $\mathbb{E}$, est appelé cardinal de cet ensemble fini $\mathbb{E}$ et on note $Card\,\mathbb{E}=n.$

Exemple : 

L'ensemble $\mathbb{E}$ des entiers naturels strictement compris entre $2$ et $8$, est un ensemble fini
$$\mathbb{E}=\{3\;;\ 4\;;\ 5\;;\ 6\;;\ 7\}$$
 
$\mathbb{E}$ a $5$ éléments qui sont $3$, $4$, $5$, $6$ et $7$ ; son cardinal est $5$ : $Card\,\mathbb{E}=5.$
 
Un ensemble qui n'est pas fini est dit infini. 
 
On ne peut pas déterminer par comptage le nombre d'éléments d'un tel ensemble.
 
Par exemple l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels est un ensemble infini
$$\mathbb{N}=\{0\;,\ 1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ldots\;,\ 2\;,\ldots\}$$

4) Diagramme de Venn d'un ensemble

Un ensemble $\mathbb{E}$ peut être représenté par un diagramme de Venn : à l'intérieur d'une courbe fermée, on place les éléments de $\mathbb{E}$, l'emplacement de chacun étant marqué par une croix
$$\mathbb{E}=\{3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\}$$
 
 

5) Appartenance

Si $a$ est un élément d'un ensemble $\mathbb{A}$, on dit que $a$ appartient à $\mathbb{A}$ et on note $a\in\mathbb{A}.$
 
Le symbole $\in$ est appelé symbole d'appartenance.

6) Ensembles particuliers

a) Ensemble vide

Un ensemble ne contenant aucun élément est appelé ensemble vide et est noté $\varnothing.$

Exemple : 

Il n'existe aucun entier naturel compris entre $0.2$ et $0.7.$ 
 
Donc l'ensemble des entiers naturels compris entre $0.2$ et $0.7$ est l'ensemble vide $\varnothing.$.

b) Singleton

On appelle singleton un ensemble qui ne contient qu'un seul élément.
 
Exemple : l'ensemble des entiers naturels strictement compris entre $2$ et $4$ est le singleton ${3}.$

c) Paire

Un ensemble contenant deux éléments est appelé paire.

Exemple : 

L'ensemble des éléments du nombre $1122$ est la paire $\{1\;,\ 2\}.$

d) Produit cartésien

$\ast$ Produit cartésien de deux ensembles :
 
Le produit cartésien d'un ensemble $\mathbb{A}$ par un ensemble $\mathbb{B}$, noté $\mathbb{A}\times\mathbb{B}$ est l'ensemble des couples $(a\;,\ b)$ tels que $a$ est élément de $\mathbb{A}$ et $b$ est élément de $\mathbb{B}.$
$$\mathbb{A}\times\mathbb{B}=\{(a\;,\ b)/a\in\mathbb{A}\text{ et }b\in\mathbb{B}\}$$

Remarque : Parenthèses et accolades

Le produit cartésien $\mathbb{B}\times\mathbb{A}$ est différent de $\mathbb{A}\times\mathbb{B}$, car un couple est ordonné :
 
Si $a\neq b\;,\ (a\;,\ b)\neq(b\;,\ a).$
 
Un couple étant ordonné, est écrit à l'aide de parenthèses ; l'ordre des éléments d'une paire n'étant pas important, une paire est écrite à l'aide d'accolades : si $a\neq b$, alors $\{a\;,\ b\}=\{b\;,\ a\}$
 
$\ast$ Produit cartésien de trois ensembles :
 
$\mathbb{A}$, $\mathbb{B}$ et $\mathbb{C}$ étant trois ensembles, le produit cartésien $\mathbb{A}\times\mathbb{B}\times\mathbb{C}$ est l'ensemble des triplets $(a\;,\ b\;,\ c)$ tels que $a\in\mathbb{A}\;,\ b\in\mathbb{B}\text{ et }c\in\mathbb{C}.$
 
$\mathbb{A}\times\mathbb{B}\times\mathbb{C}=\{(a\;,\ b\;,\ c)/a\in\mathbb{A}\;,\ b\in\mathbb{B}\text{ et }c\in\mathbb{C}\}$
 
$\ast$ Produit cartésien de quatre ensembles :
 
$\mathbb{A}$, $\mathbb{B}$, $\mathbb{C}$ et $\mathbb{D}$ étant quatre ensembles, le produit cartésien $\mathbb{A}\times\mathbb{B}\times\mathbb{C}\times\mathbb{D}$ est l'ensemble des quadruplets $(a\;,\ b\;,\ c\;,\ d)$ tels que $a\in\mathbb{A}\;,\ b\in\mathbb{B}\;,\ c\in\mathbb{C}\text{ et }d\in\mathbb{D}.$
 
$\mathbb{A}\times\mathbb{B}\times\mathbb{C}\times\mathbb{D}=\{(a\;,\ b\;,\ c\;,\ d)/a\in\mathbb{A}\;,\ b\in\mathbb{B}\;,\ c\in\mathbb{C}\;,\ d\in\mathbb{D}\}$
 
$\ast$ Produit cartésien de $p$ ensembles :
 
Si $\mathbb{A}_{1}$, $\mathbb{A}_{2}$, $\mathbb{A}_{3}$,$\ldots$, $\mathbb{A}_{p}$ sont $p$ ensembles avec $p\geq 2$, le produit cartésien $\mathbb{A}_{1}\times\mathbb{A}_{2}\times\mathbb{A}_{3}\ldots\times\mathbb{A}_{p}$ est l'ensemble des listes $(a_{1}\;,\ a_{2}\;,\ a_{3}\;,\ldots\;,\ a_{p})$ tels que $a_{1}\in\mathbb{A}_{1}\;,\ a_{2}\in\mathbb{A}_{2}\;,\ a_{3}\in\mathbb{A}_{3}\;,\ldots\;,\ a_{p}\in\mathbb{A}_{p}.$

Remarque : 

Une liste $(a_{1}\;,\ a_{2}\;,\ a_{3}\;,\ldots\;,\ a_{p})$ contenant $p$ éléments appelée $p$-liste ou $p$-uplet.

Exemple : 

Un couple $(a\;,\ b)$ est une $2$-liste.
 
Un triplet $(a\;,\ a\;,\ b)$ est une $3$-liste.
 
Un quadruplet $(a\;,\ a\;,\ b\;,\ c)$ est une $4$-liste.

Remarque :

Le produit cartésien $\mathbb{A}\times\mathbb{A}\times\mathbb{A}\times\ldots\times\mathbb{A}$ de $p$ ensembles tous égaux à $\mathbb{A}$ est noté $\mathbb{A}^{p}.$
$$\mathbb{A}^{p}=\{(a_{1}\;,\ a_{2}\;,\ldots\;,\ a_{p})/a_{1}\in\mathbb{A}\;,\ldots\;,\ a_{p}\in\mathbb{A}\}$$

Exemples : 

Soient $A=\{1\;,\ 2\}$, $\ B=\{a\;,\ b\}$, $\ C=\{3\;,\ 4\}$
 
$A^{2}=A\times A=\{(1\;,\ 1)\;;\ (1\;,\ 2)\;;\ (2\;,\ 1)\;;\ (2\;,\ 2)\}$
 
$A\times B=\{(1\;,\ a)\;;\ (1\;,\ b)\;;\ (2\;,\ a)\;;\ (2\;,\ b)\}$
 
$B\times A=\{(a\;,\ 1)\;;\ (b\;,\ 1)\;;\ (b\;,\ 2)\}$
 
$B\times A$ peut être obtenu à l'aide d'un arbre de choix
 
 
 
L'arbre de choix donnant $A^{2}$ est le suivant :
 
 
 
L'arbre de choix donnant $A\times B\times C$ est le suivant :
 
 
 
$A\times B\times C=\{(1\;,\ a\;,\ 3)\;;\ (1\;,\ a\;,\ 4)\;;\ (1\;,\ b\;,\ 3)\;;\ (1\;,\ b\;,\ 4)\;;\ (2\;,\ a\;,\ 3)\;;\ (2\;,\ a\;,\ 4)\;;\ (2\;,\ b\;,\ 3)\;;\ (2\;,\ b\;,\ 4)\}$
 
Dans le plan muni d'un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, l'ensemble des couples coordonnées des points $M(x\;,\ y)$ est le produit cartésien $\mathbb{R}\times\mathbb{R}.$

6) Sous ensemble ou Partie d'un ensemble-Inclusion

a) Définition

On dit qu'un ensemble $\mathbb{A}$ est une partie d'un ensemble $\mathbb{E}$ ou que $\mathbb{A}$ est un sousensemble de $\mathbb{E}$ ou que $\mathbb{A}$ est inclus dans $\mathbb{E}$, lorsque tout élément de $\mathbb{A}$ est aussi élément de $\mathbb{E}.$
 
Si $\mathbb{A}$ est une partie de $\mathbb{E}$, on note $\mathbb{A}\subset\mathbb{E}$ et on lit $\mathbb{A}$ est inclus dans $\mathbb{E}.$
 
Le symbole $\subset$ est le symbole de l'inclusion
 
$\mathbb{A}\subset\mathbb{E}$ signifie que : 
$$\forall\,x\in\mathbb{A}\;,\ x\in\mathbb{E}$$
 
Diagramme de venn :
 
 

b) ensemble $\mathcal{P}(\mathbb{E})$ des parties d'un ensemble $\mathbb{E}$

Les parties ou sous ensembles $\mathbb{E}$ sont :
 
$-\ \ $ la partie vide $\varnothing$ de $\mathbb{E}$
 
$-\ \ $ les singletons de $\mathbb{E}$ ou parties de $\mathbb{E}$ contenant un seul élément de $\mathbb{E}$
 
$-\ \ $ les paires de $\mathbb{E}$ ou parties de $\mathbb{E}$ contenant deux éléments de $\mathbb{E}$
 
................................
 
$-\ \ $ la partie pleine  $\mathbb{E}$ de  $\mathbb{E}$ ($\mathbb{E}$ est une partie de lui-même, appelée partie pleine de  $\mathbb{E}$)
 
L'ensemble contenant toutes les parties de  $\mathbb{E}$ est noté $\mathcal{P}(\mathbb{E})$ et est appelé ensemble des parties de  $\mathbb{E}.$

Exemple : 

Soit  $\mathbb{E}=\{1\;,\ 2\;,\ 3\}.$ 
 
Alors $\mathcal{P}(\mathbb{E})=\{\varnothing\;;\ {1}\;;\ {2}\;;\ {3}\;;\ {1\;,\ 2}\;;\ {1\;,\ 3}\;;\ {2\;,\ 3}\;;\ {1\;,\ 2\;,\ 3}\}$
 
c) complémentaire d'une partie de $\mathbb{E}$
 
Si $\mathbb{A}$ est une partie de $\mathbb{E}$, on appelle complémentaire de $\mathbb{A}$ dans $\mathbb{E}$, l'ensemble des éléments de $\mathbb{E}$ n'appartenant pas à $\mathbb{A}.$ 
 
Le complémentaire de $\mathbb{A}$ dans $\mathbb{E}$ est noté $C_{E}^{A}$ ou $\overline{A}$ s'il n'y a pas d'ambigüité.
 
$C_{E}^{A}=\overline{A}=\{x\in\mathbb{E}/x\not\in\mathbb{A}\}$
 
 

d) réunion-intersection

$\ast$ Réunion : 
 
Si $\mathbb{A}$ et $\mathbb{B}$ sont deux parties de $\mathbb{E}$, on appelle réunion de $\mathbb{A}$ et $\mathbb{B}$, la partie de $\mathbb{E}$ notée $\mathbb{A}\cup\mathbb{B}$ formée des éléments de $\mathbb{A}$ ou des éléments de $\mathbb{B}.$
$$\mathbb{A}\cup\mathbb{B}=\{x\in\mathbb{E}/x\in\mathbb{A}\text{ ou }x\in\mathbb{B}\}$$
 
$x\in\mathbb{A}\cup\mathbb{B}\Leftrightarrow$ ($x$ appartient uniquement à $\mathbb{A}$ ou $x$ appartient uniquement à $\mathbb{B}$ ou $x$ appartient à la fois à $\mathbb{A}$ et à $\mathbb{B}$)
 
 
 
$\mathbb{A}\cup\mathbb{B}$ désigne la région grisée.
 
$\ast$ Intersection :
 
$\mathbb{A}$ et $\mathbb{B}$ étant deux parties d'un ensemble $\mathbb{E}$, on appelle intersection de $\mathbb{A}$ et $\mathbb{B}$, la partie de $\mathbb{E}$ notée $\mathbb{A}\cap\mathbb{B}$, formée des éléments communs à $\mathbb{A}$ et à $\mathbb{B}.$
$$\mathbb{A}\cap\mathbb{B}=\{x\in\mathbb{E}/x\in\mathbb{A}\text{ et }x\in\mathbb{B}\}$$
 
 
 
$\mathbb{A}\cap\mathbb{B}$ désigne la région en gris.

Remarque : 

Parties disjointes :

Si $\mathbb{A}\cap\mathbb{B}=\varnothing$, on dit que $\mathbb{A}$ et $\mathbb{B}$ sont des parties disjointes de $\mathbb{E}.$

c) Propriétés :

Soient $\mathbb{A}$, $\mathbb{B}$, et $\mathbb{C}$ trois parties d'un ensemble de $\mathbb{E}.$ 
 
On a les propriétés suivantes :
 
 
Auteur: 
Ka, Faye & Mbengue

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