Dérivées et applications 1er

Classe: 
Première
 
L'évolution d'une population de bactéries, la diffusion d'une maladie, les variations de l'intensité dans un circuit électrique sont des phénomènes qui peuvent être modélisés par des fonctions continues dont la variable est le temps.
 
Pour étudier ces phénomènes, on utilise des modèles qui, à partir d'hypothèses raisonnables, permettent d'écrire une relation entre la fonction à étudier et ses dérivées successives.
 
Bertrand Russel, logicien et philosophe disait : 
 
« bien que cela semble être un paradoxe, toute science exacte est dominée par l'idée d'approximation »

I Dérivabilité en un point

I.1 Définition

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ contenant $a$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\in\mathbb{R}$
 
La fonction est donc dérivable si la limite existe et est finie.
 
Cette limite finie s'appelle nombre dérivé de la fonction $f$ en $a.$
 
Il se note $f'(a)$
 
lire « $f$ prime de $a$ »

I.2 Autre formulation de la définition

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ contenant $a$ est dérivable en $a$ si $\mathcal{C_{f}}$
 
$\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\in\mathbb{R}$ résultat obtenu en posant $x=a+h.$

I.3 Interprétation géométrique du nombre dérivé


 

 
Soit une fonction $f$ dérivable en $a$ élément de $I.$ 
 
Soit $h$ non nul tel que $a+h$ est élément de $I$ ; les points $A(a\;;\ f(a))$ et $B(a+h\;;\ f(a+h))$ sont deux points distincte de la courbe $\mathcal{C_{f}}.$ 
 
Le réel $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ est le coefficient directeur de la droite $(AB).$ 
 
(Nous reconnaissons le taux d'accroissement) lorsque $h$ tend vers zéro le point $B$ se rapproche du point $A$ et la droite $(AB)$ se rapproche de la tangente à $\mathcal{C_{f}}$ en $A.$
 
Le coefficient directeur de cette tangente est donné par la valeur limite du taux d'accroissement lorsque $h$ tend vers zéro c'est-à-dire le nombre dérivé $f'(a).$

Définition et théorème

Soit $f$ une fonction dérivable en $a$ et $A(a\;;\ f(a))$ le point d'abscisse $a$ de la courbe $\mathcal{C_{f}}.$
 
La tangente à la courbe $\mathcal{C_{f}}$ au point $A$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a).$
 
L'équation réduite de cette tangente est : $$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

Démonstration

La fonction est dérivable en $a$ et le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C_{f}}$ en $A$ d'abscisse $a$ est $f'(a).$ 
 
Cette tangente admet donc une équation de la forme :
 
$y=f'(a)x+b$ où $b$ est à déterminer. 
 
Cette tangente passe par $A$ donc ses coordonnées vérifient l'équation d'où : 
 
$f(a)=f'(a)\cdot a+b$ et donc $b=-a\cdot f'(a)+f(a).$
 
En remplaçant $b$ dans l'équation, on obtient le résultat.
 
Une fonction définie en $a$ n'est pas dérivable en $a$ si :
1)$$\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\infty$$ dans ce cas la courbe de $f$ admet en son point d'abscisse $a$ un tangente (ou demi tangente) verticale.
 
2)$$\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\neq\lim_{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ nous disons dans ce cas que le nombre dérivé à droite (limite à droite) est différent du nombre dérivé à gauche. 
 
La limite n'existe donc pas et la courbe possède deux demi tangentes de coefficients directeurs distincts, elle présente alors ce qu'on appelle un point anguleux.

I.4 Interprétation cinématique de la dérivée : 

vitesse instantanée

Supposons que la distance parcourue par un mobile (à partir d'un point donné) soit exprimé par rapport à la durée du parcours par une fonction notée $x$ dépendante du temps $t$ comme variable.
 
La distance parcourue entre les instants $t_{1}\text{ et }t_{2}$ $(t_{2}\geq t_{1})$ est $f(t_{2})-f(t_{1})$ ; nous savons que le quotient de la distance parcourue et du temps mis donne la vitesse moyenne. 
 
Lorsque cette durée est très petite c'est-à-dire lorsque $t_{1}$ tend vers $t_{2}$, alors la limite de la vitesse moyenne qui est la dérivée de la fonction $x$ s'appelle vitesse instantanée du mobile ; on note : $$v(t)=x'(t)=x(t)=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\lim_{t_{1}\rightarrow t_{2}}\dfrac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}$$
 
Remarquons qu'il ne faut donner aucune signification (pour l'instant) aux deux termes du rapport $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}.$

Théorème : 

Toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a.$

Exercice

Montrer que les nombres dérivés en $a$ des fonctions suivantes sont :
 
$f(x)=k$       $f'(a)=0$
 
$f(x)=x$         $f'(a)=1$
 
$f(x)=x^{2}$      $f'(a)=2a$
 
$f(x)=\dfrac{1}{x}$   $f'(a)=-\dfrac{1}{a^{2}}$
 
$f(x)=\sqrt{x}$      $f'(a)=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$

II Fonction dérivée

II.1 Définitions 

On dit que la fonction $f$ est dérivable sur $I$ lorsqu'elle est dérivable pour tout réel $a$ de $I.$
 
La fonction qui à tout $x$ élément de $I$ associe le nombre dérivé de $f$ en $x$, s'appelle fonction dérivée de $f$ et est notée $f'\ :\ x\mapsto f'(x)$
 
Donnons les fonctions dérivées de certaines fonctions usuelles
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Fonction }f\text{ définie par}&\text{Dérivable sur}&\text{Fonction dérivée }f'(x)\\ \hline f(x)=k\;,\text{ avec }k\text{ réel}&\mathbb{R}&0\\ \hline f(x)=x&\mathbb{R}&1\\ \hline f(x)=x^{2}&\mathbb{R}&2x\\ \hline f(x)=x^{n}\text{ avec }n\in\mathbb{N^{\ast}}&\mathbb{R}&n\cdot x^{n-1}\\ \hline f(x)=\dfrac{1}{x}&]-\infty\;;\ 0[\cup\;]0\;;\ +\infty[&-\dfrac{1}{x^{2}}\\ \hline f(x)=\sqrt{x}&]0\;;\ +\infty[&\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\ \hline \end{array}$$
 
Remarquons que pour la fonction puissance $n$ il faut recourir à la démonstration par récurrence étudiée dans d'autres chapitres.

II.2 Opérations sur les fonctions dérivables

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $I$ et dont les fonctions dérivées respectives sont notées $u'\ $ et $\ v'.$
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Fonction }f&\text{Dérivable sur}&\text{Fonction dérivée }f'\\ \hline ku\text{ avec }k\text{ réel}&I&ku'\\ \hline u+v&I&u'+v'\\ \hline uv&I&u'v+v'u\\ \hline &\text{Pour tout }x\text{ de }I&\\ \dfrac{1}{v}&\text{tel que}&\dfrac{-v'}{v^{2}}\\ &v(x)\neq 0&\\ \hline &\text{Pour tout }x\text{ de }I&\\ \dfrac{u}{v}&\text{tel que}&\dfrac{u'v-v'u}{v^{2}}\\ &v(x)\neq 0&\\ \hline u^{n}\text{ avec }n\in\mathbb{N}&I&nu^{n-1}u'\\ \hline &\text{Pour tout }x\text{ de }I&\\ \sqrt{u}&\text{tel que}&\dfrac{v'}{2\sqrt{v}}\\ &v(x)>0&\\ \hline \end{array}$$
 
Il découle des formules de dérivation que :
 
Toute fonction polynôme est dérivable sur $\mathbb{R}.$
 
Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition

II.3 Compléments

II.3.1 Dérivée d'une fonction composée

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et soit $g$ une fonction dérivable sur $f(I).$
 
En un point$ $a de $I$, $(g\circ f)'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{(g\circ f)(a+h)-(g\circ f)(a)}{h}$ (par définition).
 
En divisant et en multipliant par le réel non nul $f(a+h)-f(a)$ , on obtient
$$(g\circ f)'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{(g\circ f)(a+h)-(g\circ f)(a)}{f(a+h)-f(a)}\times\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$
 
Ou encore
$$(g\circ f)'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{g[f(a+h)]-g[f(a)]}{f(a+h)-f(a)}\times\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$
 
La première limite est $g'[f(a)]$ nombre dérivé de $g$ au point $f(a)$ ; la seconde est $f'(a).$

Théorème :

Si $f$ est une fonction dérivable sur $I$, intervalle de $\mathbb{R}$, et $g$ une fonction dérivable sur $f(I)$, alors la fonction $(g\circ f)$ est dérivable sur $I$, et pour tout $x$ élément de $I$  $$(g\circ f)'(x)=g'[f(x)]\times f'(x).$$
 
Remarquons que ce théorème permet de démontrer les deux dernières formules du tableau précédent.

II.3.2 Dérivée d'une bijection réciproque

Soit $f$ une bijection dérivable sur un intervalle $I$ et telle que pour tout $x$ élément de $I$ $f'(x)\not\neq 0 .$ 
 
Soit $g$ la réciproque de $f$, supposons que $g$ est dérivable sur $f(I).$ 
 
Pour tout $x$ élément de $I$ $(g\circ f)(x)=x.$ Admettons aussi (dans le cadre de ce cours) que si deux fonctions dérivables sont égales alors leurs dérivées sont égales : 
 
pour tout $x$ élément de $I$ $g'[f(x)]\times f'(x)=1$ d'où $g'[f(x)]=\dfrac{1}{f'(x)}$
 
Soit $f$ une bijection dérivable sur $I$, et dont la dérivée ne s'annule pas sur $I.$ 
 
La réciproque, $f^{-1}$ est dérivable sur $f(I)$ et pour tout $x$ élément de $I$
$$\left[\left(f^{-1}\right)(x)\right]=\dfrac{1}{f'(x)}\ \text{ ou }\ \left(f^{-1}\right)^{\prime}=\dfrac{1}{f'\circ f^{-1}}$$

II.3.3 Dérivées successives

Soit $f$ une fonction dérivable et dont la dérivée $f'$ est elle-même dérivable. 
 
On dit que $f$ est deux fois dérivable. 
 
La dérivée de $f'$ se note $(f')'$ ou simplement $f''$ et se nomme dérivée seconde de $f.$
 
Si la fonction $f$ est $n$ fois dérivable, on note $f'\;;\ f''\;;\ f'''\;;\ \ldots\;;\ f^{(n)}$ ses dérivées première, seconde, troisième, ..... n-ième (ou dérivée d'ordre $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\  .....\;,\ n)$
 
Avec la notation en cinématique la dérivée seconde de $x$ se note $\ddot{x}=\dfrac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}$, le numérateur n'a plus aucune signification.

III Applications de la dérivation

III.1 Variation d'une fonction numérique

Il est facile de montrer en utiliser le taux d'accroissement que si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$
 
$\bullet$ Si $f$ est constante sur $I$ alors sa dérivée est nulle en tout point de $I$
 
$\bullet$ Si $f$ est croissante sur $I$ alors sa dérivée est positive ou nulle en tout point de $I$
 
$\bullet$ Si $f$ est décroissante sur $I$ alors sa dérivée est négative ou nulle en tout point de $I.$
 
Nous admettrons les résultats réciproques suivants :
 
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$
 
$\bullet$ Si pour tout $x$ élément de $I$ $f'(x)=0$ alors $f$ est constante sur $I$
 
$\bullet$ Si pour tout $x$ élément de $I$ $f'(x)\leq 0$ alors $f$ est décroissante sur $I$
 
$\bullet$ Si pour tout $x$ élément de $I$ $f'(x)\geq 0$ alors $f$ est croissante sur $I$
 
Nous déduisons du premier résultat que si deux fonctions ont même dérivée sur un intervalle alors leur différence est constante.

III.2 Extrémums d'une fonction

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I.$ 
 
Si $f$ présente un extrémum en $a$ point de $I$ alors $f'(a)=0$
 
En effet, si par exemple $f(a)$ est un minimum de la fonction, alors il existe $J$ intervalle ouvert contenu dans $I$ tel que pour tout $x$ élément de $I$, $f(x)\geq f(a)$
 
Pour $x<a$ $$\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\leq 0\ \text{ donc, }\ \lim_{x\rightarrow a^{-}}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\leq 0$$
 
Pour $x>a$ $$\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\geq 0\ \text{ donc, }\ \lim_{x\rightarrow a^{-}}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\geq 0$$
 
La fonction $f$ étant dérivable en $a$, les deux limites sont égales. 
 
Donc, $f'(a)=0.$
 
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I.$ 
 
Si au point de $I$, $f'(x)$ s'annule en changeant de signe, alors $f$ présente un extremum au point $a.$

Remarque : 

le changement de signe est nécessaire.
 
Nombre de solutions d'une équation

Théorème 1 (de la bijection)

Toute fonction dérivable sur un intervalle $I$ et strictement monotone sur $I$ est bijective sur $I.$

Théorème 2 

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\;,\ b]$ et telle $f(a)\times f(b)<0$
 
alors il existe au moins un réel $\beta$ de $]a\;;\ b[$ tel que $f(\beta)=0$

Théorème 3

Si $f$ est dérivable et strictement monotone sur $[a\;;\ b]$ et si $f(a)\times f(b)<0$ alors il existe un réel $\alpha$ unique dans $]a\;;\ b[$ tel que $f(\alpha)=0$
 
Auteur: 
Ka, Faye & Mbengue

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