Devoir $n^{\circ}$26 1e S1

Classe: 
Première
 

Exercice 1 

Soit $ABC$ un triangle. 
 
On pose : $AB=c\;,\ BC=a\text{ et }AC=b.$
 
I. On désigne par $I$ le point d'intersection de $(BC)$ avec la bissectrice de l'angle $\hat{A}.$
 
La droite parallèle à $(AI)$ passant par $C$ coupe $(AB)$ en $D.$
 
1) Démontrer que $ACD$ est isocèle et que : $$\dfrac{IB}{IC}=\dfrac{c}{b}$$
 
2) En déduire que les barycentres respectifs de ${(B\;,\ b)(C\;,\ c)}\text{ de }{(A\;,\ a)(B\;,\ b)}\text{ et de }{(A\;,\ a)(C\;,\ c)}.$
 
3) Démontrer que le centre du cercle inscrit dans le triangle $ABC$ est le barycentre de ${(A\;,\ a)(B\;,\ b)(C\;,\ c)}.$
 
II. La bissectrice extérieure de l'angle $\hat{A}$ coupe la droite $(BC)\text{ en }K.$ La parallèle à $(AK)$ passant par $C$ coupe $(AB)\text{ en }C'.$
 
1) Démontrer que le triangle $ACC'$ est isocèle.
 
2) Démontrer que $K$ est le barycentre de ${(B\;,\ b)(C\;,\ -c )}.$
 
III. On suppose que le triangle $ABC$ est non isocèle en $A.$
 
Les bissectrices des angles $B\text{ et }C$ coupent respectivement les côtés $[AB]\text{ et }[AC]\text{ en }I'\text{ et }J.$
 
Les droites $(I'J)\text{ et }(BC)$ se coupent en $K.$
 
1) Écrire $K$ comme barycentre des points $I'\text{ et }J$ , puis comme barycentre des points $B\text{ et }C.$
 
2) En déduire que $(AK)$ est la bissectrice extérieure de l'angle $\hat{A}.$ du triangle $ABC.$

Exercice 2

Étudier les limites suivantes en $a$ :
 
1) $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{|x+2|}}-\dfrac{x}{\sqrt{|x+1|}}\quad a=-\infty$
 
2) $f(x)=x\sin\dfrac{1}{x}-2\dfrac{\sin x}{x}\quad a=+\infty$
 
3) $f(x)=\dfrac{1-\sin x-\cos x}{1-\sin x+\cos x}\quad a=\dfrac{\pi}{2}$
 
4) $f(x)=\dfrac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{\tan x}\quad a=0$

Exercice 3

Soit l'équation $x^{3}+3px+q=0\quad (1)$ dans laquelle $p\text{ et }q$ sont des nombres réels non nuls vérifiant $4p^{3}+q^{2}\leq 0.$
 
1) a) Soit $\lambda$ un nombre réel non nul.
 
Démontrer que les systèmes suivants sont équivalents :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& \lambda\cos y\\ x^{3}+px+q&=&0 \end{array}\right.$$ et $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\lambda\cos y\\ \cos^{3}y+3\dfrac{p} {\lambda^{2}}\cos y+\dfrac{q}{\lambda^{3}}&=&0 \end{array}\right.$$
 
b) En calculant $\cos(2y+y)$, démontrer que, pour tout nombre réel $y$,
$$\cos^{3}y=4\cos^{3}y-3\cos y$$
 
Posons $\lambda=2\sqrt{-p}$ (on peut remarquer que $4p^{3}+q^{2}\leq 0\text{ et }p\neq 0\Longrightarrow p<0).$
 
Démontrer qu'alors $\cos^{3}y+3\dfrac{p}{\lambda^{2}}\cos y+\dfrac{q}{\lambda^{3}}=0$ peut s'écrire : $\cos 3y=\dfrac{q}{2p\sqrt{-p}}.$
 
c) Démontrer que si $4p^{3}+q^{2}\leq 0$ , on a : $-1\leq\dfrac{q}{2p\sqrt{-p}}\leq 1.$ 
 
Soit $a$ un nombre réel vérifiant $\cos a=\dfrac{q}{2p\sqrt{-p}}.$
 
Résoudre l'équation d'inconnue $y\ :\ \cos 3y=\cos a$ (exprimer les solutions en fonction de $a$).
 
En déduire trois solutions de l'équation $x^{3}+3px+q=0.$
 
2) Applications numériques
 
a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $x^{3}-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{\sqrt{2}}{8}=0.$
 
En déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{12}\text{ et }\sin\dfrac{\pi}{12}.$
 
b) Nous souhaitons résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $X^{3}+3X^{2}-6X+1=0$
 
Démontrer, en posant $X=x+c$ que cette équation peut se mettre sous la forme
 
$x^{3}+3px+q=0$ (où $c\;,\ p\text{ et }q$ sont trois réels à déterminer).
 
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation obtenue.
 
En déduire les solutions de l'équation : $X^{3}+3X^{2}-6X+1=0.$

                                                                                              Durée 4h
 

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