Devoir $n^{\circ}$53 - 1e S1

Classe: 
Première
 

Exercice 1

1) Calculer les limites des fonctions suivantes en $x_{0}$ indiqué
 
a) $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}-2}{x^{2}-5x+4}\;,\ x_{0}=4$
 
b) $f(x)=\dfrac{mx^{2}+x+1}{x^{2}-3x+2}\;,\ x_{0}=-\infty\;(m\in\mathbb{R})$
 
c) $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}\;,\ x_{0}=+\infty$
 
d) $f(x)=\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}-3x+2}\;,\ x_{0}=1$
 
e) $f(x)=x\mathbb{E}(\dfrac{1}{x})\;,\ x_{0}=0$
 
2) Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}-3x+4}-\sqrt{x+4}}{x-3+\sqrt{x^{2}+9}}$
 
$g$ est-elle prolongeable par continuité en 0 ? Si oui, définir son prolongement par continuité en 0

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie par :
 
$$\left\lbrace\begin{array}{lllll} f(x) &=& \dfrac{x^{2}+1}{x+1} & \text{si}& x\leq 0 \\ \\ f(x) &=& x+\sqrt{x^{2}+1} & \text{si} &x>0 \end{array}\right.$$
 
On note par $(Cf)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j}$
 
1) a) Déterminer le domaine de définition $Df$ de $f$ puis calculer les limites de $f$ aux bornes de $Df.$
 
b) Etudier la continuité de $f$ en 0.
 
2) Montrer que $(Cf)$ admet en $-\infty$ une asymptote oblique $(\Delta )_{1}$
 
puis étudier la position relative de $(Cf)$ par rapport à $(\Delta_{1})$ sur $]-\infty\;;\ 0]$
 
3) Montrer que la droite $(\Delta_{2})$ : $y=2x$ est asymptote oblique à $(Cf)$ en $+\infty$
 
puis étudier la position relative de $(Cf)$ par rapport à $(\Delta_{2})$ sur $]0\;;\ +\infty$

Exercice 3

1) Soit $(w_{n})$ la suite définie par :
 
$$\left\lbrace\begin{array}{lll} w_{0} &=& 1 \\ \\ w_{n+1} &=& \dfrac{w_{n}+1}{w_{n}+3} \end{array}\right.$$
 
a) Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}\;,\ 0\leq w_{n}\leq 1$
 
b) Démontrer par récurrence que $(w_{n})$ est décroissante.
 
2) Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ les suites définies par $u_{0}=\dfrac{5}{4}$ et pour tout entier naturel :
 
$$\left\lbrace\begin{array}{lll} u_{n+1} &=& \dfrac{1}{3}u_{n}-n-\dfrac{4}{3} \\ \\ v_{n} &=& u_{n}+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{1}{4} \end{array}\right.$$
 
a) Calculer $v_{0}\;,\ v_{1}$ et $v_{2}$
 
b) Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
 
Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n.$
 
c) Exprimer $S_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}v_{k}\;\text{et}\;S'_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}u_{k}\ \text{en fonction de}\ n.$
 
d) Calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}\;\text{et}\ \lim_{n\rightarrow +\infty}S'_{n}$

Exercice 4

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sqrt{|x^{2}-1|}}{x}$
 
On note par $(Cf)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j}$
Etudier les branches infinies de $(Cf).$

Exercice 5

Soient trois points $A\;,\ B$ et $C$ du plan tels que :
 
$AB=3a\;;\ AC=4a$ et $BC=5a$ où $a\in\mathbb{N}^{\ast}$ On désigne par $I$ le milieu du segment $[BC].$
 
1) Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A.$
 
2) Soit $m$ un paramètre réel et $G_{m}=bar\left\lbrace(A\;,\ 1-2m)\;;\ (B\;,\ m)\;;\ (C\;,\ m)\right\rbrace$
 
a) Justifier l'existence de $G_{m}$ et démontrer que $G_{m}$ appartient à la médiane issue de $A$ du triangle $ABC.$
 
b) Démontrer que l'ensemble des points $G_{m}$, quand $m$ décrit $\left[0\;;\ \dfrac{1}{2}\right]$ est un segment dont on précisera les extrémités.
 
3) Soit $m\in\left[0\;;\ \dfrac{1}{2}\right]$
 
a) Montrer que $(1-2m)G_{m}A^{2}+mG_{m}B^{2}+mG_{m}C^{2}=25a^{2}m(1-m)$
 
b) En déduire l'ensemble $(E_{m})$ des points $M$ du plan tels que :
 
$(1-2m)MA^{2}+mMB^{2}+mMC^{2}=25a^{2}m$
 
c) Construire $(E_{1})$
 
Auteur: 
Babacar Djité

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