Généralités sur les fonctions 1eS

Classe: 
Première

I Définition de fonctions et applications

I.1 Définition 

$\centerdot\ \ $ Soient $E$ et $F$ deux ensembles, on appelle fonction toute relation qui associe à tout élément de $E$ au plus un élément de $F.$
 

 
 
 

 
 
$\centerdot\ \ $ On appelle fonction d'une variable réelle à valeurs réelles une application qui à tout élément $x$ d'une partie $D$ de $\mathbb{R}$ associe un réel et un seul noté $f(x)$
 
$-\ $ Le réel $y=f(x)$ est appelé image de $x$ par $f$
 
$-\ $ $x$ est un antécédent de $y$
 
$-\ $ La partie $D$ est appelée ensemble de définition de la fonction.
 
$\centerdot\ \ $ Soit $f$ une fonction définie sur $D$, et $E\subset D$, alors $f(E)$ désigne l'ensemble des images des éléments de $E$.

Notation

\begin{eqnarray} f\;:\;D & \longrightarrow & \mathbb{R} \nonumber \\x & \longmapsto & f(x) \nonumber\end{eqnarray}

I.2 Ensemble de définition

Soit $f$ une fonction d'une variable réelle $x$, on appelle ensemble de définition de $f$ l'ensemble noté $$D_{f}=\{x\in\mathbb{R}\;/\;f(x)\; \text{ existe }\}$$

Exemple 1 :

La fonction identité $x\longmapsto x$ est définie sur $D=\mathbb{R}$
 
La fonction élévation au carré $x\longmapsto x^{2}$ est définie sur $D=\mathbb{R}$
 
La fonction inverse $x\longmapsto \frac{1}{x}$ est définie sur $D=\mathbb{R^{*}}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$
 
La fonction racine carré $x\longmapsto \sqrt{x}$ est définie sur $D=\mathbb{R_{+}}=[0; +\infty[$

Exemple 2 :

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes.
 
a) $f(x)=x^{2}-5x$
 
b) $g(x)=\sqrt{x^{2}-4x+3}$
 
c) $h(x)=\dfrac{2x+1}{x^{2}-4}$
 
d) $k(x)=\left\{\begin{array}{lll}\dfrac{2x+1}{x^{2}-1}\quad &\text{si }& x<0 \\ \\ \dfrac{\sqrt{x^{2}-x}}{x-9}\quad &\text{si }& x\geq 0\end{array}\right.$

Solution 

a) Nous savons que $x^{2}-5x$ est un  polynôme de degré deux, donc $\forall\;x\in\mathbb{R}\;;\ x^{2}-5x\;$ existe.
 
Ainsi, $D_{f}=\mathbb{R}$
 
b) On a $g(x)$ existe si, et seulement si, $x^{2}-4x+3\geq 0.$
 
Soit le trinôme du second degré suivant : $x^{2}-4x+3$
 
On a $\Delta=b^{2}-4ac=16-12=4$
 
$\Delta>0$ donc le trinôme admet deux racines distinctes $x_{1}$ et $x_{2}$ telles que $x_{1}=\dfrac{4-2}{2}=1$ et $x_{2}=\dfrac{4+2}{2}=3.$
 
Ainsi, le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe de $-a$ à l'intérieur.
 
$a$ étant positif, donc $x^{2}-4x+3\geq 0$ sur $]-\infty\;;\ 1]\cup[3\;;\ +\infty[.$    
 
D'où, $D_{g}=]-\infty\;;\ 1]\cup[3\;;\ +\infty[$    
 
c) On a :
\begin{eqnarray} h(x)\;\text{ existe } & \Leftrightarrow & x^{2}-4\neq 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & (x-2)(x+2)\neq 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & x\neq 2\;\text{ ou }\;x\neq -2 \nonumber \end{eqnarray}
 
D'où, $D_{h}=\mathbb{R}\setminus\{-2\;;\ 2\}$
 
d) Pour $x<0\;,\ k_{1}(x)=\dfrac{2x+1}{x^{2}-1}$
 
on a : 
\begin{eqnarray} k(x)\;\text{ existe } & \Leftrightarrow & x^{2}-1\neq 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & (x-1)(x+1)\neq 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & x\neq 1\;\text{ ou }\;x\neq -1 \nonumber \end{eqnarray}
donc, $D_{k_{1}}=]-\infty\;;\ -1[\cup]-1\;;\ 0[$
 
pour $x\geq 0\;,\ k_{2}(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}-x}}{x-9}$
 
on a 
\begin{eqnarray} k(x)\;\text{ existe } & \Leftrightarrow & x^{2}-x\geq 0\;\text{ et }\;x-9\neq 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & x(x-1)\geq 0\;\text{ et }\;x\neq 9 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & x\geq 1\;\text{ et }\;x\neq 9 \nonumber \end{eqnarray}
donc, $D_{k_{2}}=\{0\}\cup[1\;;\ 9[\cup]9\;;\ +\infty[$
 
D'où, $D_{k}=D_{k_{1}}\cup D_{k_{2}}=]-\infty\;;\ 0]\cup[1\;;\ +\infty[\setminus\{-1\;;\ 9\}$

Remarque :

Il ne faut pas confondre $f$ appelé fonction ; avec $f(x)$ (désigné aussi par $y$) qui est le réel associé par $f$ à un élément donné $x$.

I.3 Courbe représentative d'une fonction

Soit $f$ une fonction définie sur $D_{f}$
 
La courbe représentative de $f$ notée $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère est l'ensemble des points $M(x, f(x))$ avec $x\in D_{f}$
 
On dit que $y=f(x)$ est une équation de cette courbe dans le repère considéré.
 
On note 
$$\left\{M\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}\;\text{ tel que }x\in D_{f}\;\text{ et }y=f(x)\right\}$$

I.4 Application

I.4.1 Définition

On appelle application de $A$ vers $B$ toute relation de $A$ vers $B$ qui associe tout élément de $A$, un et un seul élément de $B.$

 
 
 
 

Remarque : 

\begin{eqnarray} f\;:\;I & \longrightarrow & \mathbb{R} \nonumber \\
x & \longmapsto & f(x) \nonumber \end{eqnarray}
Pour que $f$ soit une application il faudrait que $I\subset D_{f}.$
 
Toute application est une fonction. La réciproque est fausse.

I.4.2 Applications injectives, surjectives, bijectives

a) Application injective ou injection

Une application $f\;:\;E\longrightarrow F$ est dite injective si, et seulement si, deux éléments différents de l'ensemble de points $E$ ont des images différentes dans $F.$

Remarque :

Une application $f\;:\;E\longrightarrow F$ n'est pas injective s'il y a deux éléments différents de $E$ qui ont la même image dans $F.$

b) Théorème de caractérisation de l'injection

Une application $f\;:\;E\longrightarrow F$ est dite injective si, et seulement si, $$x\neq x'\;\Rightarrow\;f(x)\neq f(x')$$
ou encore $f$ est dite injection si, et seulement si, $$f(x)=f(x')\;\Rightarrow\; x=x'$$

Exemple :

\begin{eqnarray} f\;:\;[1\;;\ +\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \nonumber \\ x & \longmapsto & x^{2}\nonumber \end{eqnarray}
Soient $x$ et $x'$ dans $[1\;;\ +\infty[\;$, alors  
\begin{eqnarray} f(x)=f(x') & \Rightarrow & x^{2}=x'^{2} \nonumber \\ & \Rightarrow & x=x' \nonumber \end{eqnarray}
d'où $f$ est injective

c) Application surjective ou surjection

Une application $f\;:\;E\longrightarrow F$ est dite surjective si, et seulement si, $$\forall\;y\in F\;,\ \exists\;x\in E\;\text{ tel que }\;f(x)=y$$

Exemple :

\begin{eqnarray} f\;:\;\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \nonumber \\ x & \longmapsto & x^{2} \nonumber \end{eqnarray}
$f$ n'est pas surjective car si $y<0$, alors on aura $x^{2}=y<0$ ; ce qui est impossible.
 
\begin{eqnarray} g\;:\;[1\;;\ +\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \nonumber \\ x & \longmapsto & x^{2}-4 \nonumber \end{eqnarray}
 
\begin{eqnarray} g(x)=y & \Leftrightarrow & x^{2}-4=y \nonumber \\ & \Leftrightarrow & y+4=x^{2}\quad\text{impossible si, }y<-4 \nonumber \end{eqnarray}
 
\begin{eqnarray} g(x)=-7 & \Leftrightarrow & x^{2}-4=-7 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & x^{2}=-3\quad\text{impossible } \nonumber \end{eqnarray}
donc $g$ n'est pas surjective
 
\begin{eqnarray} h\;:\;\mathbb{R}\setminus\{2\} & \longrightarrow & \mathbb{R}\setminus\{1\} \nonumber \\ x & \longmapsto & \dfrac{x+1}{x-2} \nonumber \end{eqnarray}
 
\begin{eqnarray} h(x)=y & \Leftrightarrow & \dfrac{x+1}{x-2}=y \nonumber \\ & \Leftrightarrow & x+1=yx-2y \nonumber\\ & \Leftrightarrow & x-yx=-1-2y \nonumber\\ & \Leftrightarrow & x(1-y)=-1-2y \nonumber\\ & \Leftrightarrow & x=\dfrac{-1-2y}{1-y}=\dfrac{1+2y}{y-1}\;\text{ avec }y\neq 1 \nonumber \end{eqnarray}
donc $h$ est surjective

d) Application bijective ou bijection

Soit $f$ une application de $A$ vers $B$
\begin{eqnarray} f\;:\;A & \longrightarrow & B \nonumber \\ x & \longmapsto & f(x)=y \nonumber \end{eqnarray}
$f$ est dite bijective si $f$ est à la fois injective et surjective.

 

 
 

e) Théorème de caractérisation

Une application $f\;:\;A\longrightarrow B$ est bijective si, et seulement si, $$\forall\;y\in B\;,\ \text{ il existe un unique }\;x\in A\;\text{ tel que }\;f(x)=y$$
Si $f$ est bijective, alors elle admet une bijection réciproque que l'on note $f^{-1}$ qui va de $B$ vers $A.$

 
 
 
$$f(x)=y\;\text{ si, et seulement si, }x=f^{-1}(y)$$

II Opérations sur les fonctions

II.1 Égalité de deux fonctions

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies respectivement sur $D_{f}$ et $D_{g}$
 
On dit que les deux fonction $f$ et $g$ sont égales si, et seulement si, $$D_{f}=D_{g}\;\text{ et }\;\forall\;x\in D_{f}\;,\ f(x)=g(x)$$
 
$$f=g\;\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rrr} D_{f}&=&D_{g}\\ \forall\; x\in D_{f},\quad f(x)&=&g(x) \end{array}\right.$$

II.2 Somme de deux fonctions

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies respectivement sur $D_{f}$ et $D_{g}$
 
On définit sur $D=D_{f}\cap D_{g}$ la somme $f+g$ par 
 
$$\forall\; x\in D\;,\ f+g:\:x\longmapsto f(x)+g(x)$$
 
On peut aussi écrire 
 
$$\forall\; x\in D\;,\ (f+g)(x)=f(x)+g(x)$$

Exemple :

soit $f\;:\; x\longmapsto \dfrac{1}{x+2}$ et $g\;:\; x\longmapsto \dfrac{1}{x-2}$ deux fonctions définies sur l'intervalle $]-2\;;\ 2[$
 
La somme $f+g\;:\; x\longmapsto \dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{x-2+x+2}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{2x}{x^{2}-4}$ est définie sur $]-2\;;\ 2[$

II.3 Produit d'une fonction par un réel

$f$ une fonction définie sur $D$ et pour tout réel $k$, le produit d'un réel $k$ par la fonction $f$ est noté : $kf$ et se définit par
 
$$\forall\; k\in\mathbb{R}\;,\ \forall\; x\in D\;,\ kf\;:\;x\longmapsto kf(x)$$
 
On peut aussi écrire le produit $kf$ d'un réel $k$ par une fonction $f$
 
$$\forall\; k\in\mathbb{R}\;,\ \forall\; x\in D\;,\ (kf)(x)=kf(x)$$

II.4 Produit de deux fonctions

On définit sur $D=D_{f}\cap D_{g}$ le produit $fg$ par $\forall\; x\in D\;,\ fg\;:\;x\longmapsto f(x)g(x)$
 
On peut aussi écrire $\forall\; x\in D\;,\ (fg)(x)=f(x)g(x)$

Exemple :

soit $f\;:\; x\longmapsto \dfrac{1}{x}$ et $g\;:\; x\longmapsto \dfrac{1}{x-1}$ deux fonctions définies sur l'intervalle $]0\;;\ 1[$
 
Le produit $fg\;:\; x\longmapsto \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{x(x-1)}$ est définie sur $]0\;;\ 1[$

Remarque :

Le produit $fg$ peut donner une fonction nulle sans qu'aucune des deux fonctions  $f$ et $g$ soit identiquement nulle.

Exemple :

$f\;:\;x\longmapsto\left\{\begin{array}{rrr} 0\quad \text{si}\quad x\in [0\;;\ 1]\\ x\quad \text{si}\quad x\in [1\;;\ 2] \end{array}\right.$ et $g\;:\;x\longmapsto\left\{\begin{array}{rrr} x\quad \text{si}\quad x\in [0\;;\ 1]\\ 0\quad \text{si}\quad x\in [1\;;\ 2]\end{array}\right.$
 
Le produit $fg \quad x\longmapsto 0$ si $x\in [0\;;\ 2]$ est la fonction nulle sur $[0\;;\ 2]$ bien que ni $f$ ni $g$ ne soit la fonction nulle.

II.5 Quotient de deux fonctions

On définit sur $D=D_{f}\cap D_{g}$, le quotient $\dfrac{f}{g}$ tel que pour tout $x$ de $D$ tel que $g(x)\neq 0$ par 
 
$$\dfrac{f}{g}\;:\;x\longmapsto\dfrac{f(x)}{g(x)}$$
 
On peut aussi écrire 
 
$$\forall\;x\in D\;;\ g(x)\neq 0\;,\ \left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$$

Exemple :

soit $f\;:\; x\longmapsto \dfrac{1}{x+1}$ et $g\;:\; x\longmapsto \dfrac{1}{x-1}$ deux fonctions définies sur l'intervalle $]-1\;;\ 1[$
 
Le quotient $\dfrac{f}{g}\;:\; x\longmapsto \dfrac{\dfrac{1}{x+1}}{\dfrac{1}{x-1}}=\dfrac{x-1}{x+1}$ est définie sur $]-1\;;\ 1[$

Remarque :

Le quotient $\dfrac{f}{g}\;:\; x\longmapsto \dfrac{x-1}{x+1}$ est même définie sur $]-1\;;\ 1]$

III Composition de deux fonctions

Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques de la variable $x\in\mathbb{R}$ définies respectivement sur $D_{f}$ et $D_{g}.$
 
Soit $D$ l'ensemble des éléments $x$ de $D_{f}$ tels que $f(x)\in D_{g}.$
 
La composée $g\circ f$ ("$g$ rond $f$") est la fonction numérique, d'ensemble de définition $D$, définie par  $(g\circ f)(x)=g[f(x)]$ (on remplace $x$ par l'expression de $f(x)$ dans $g(x)).$
 
Dans l'écriture $g\circ f$ la première application est $f$ et la seconde est $g.$
 
De même, $(f\circ g)(x)=f[g(x)]$ (on remplace $x$ par l'expression de $g(x)$ dans $f(x)).$
 
On a :
$$(g\circ f)(x)=g[f(x)]\;\exists\;\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rrr} x\in D_{f}\\ f(x)\in D_{g} \end{array}\right.$$
 
$$(f\circ g)(x)=f[g(x)]\;\exists\;\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rrr} x\in D_{g}\\ g(x)\in D_{f} \end{array}\right.$$

Exemple :

Soit  $f:\: x\longmapsto x^{2}-1$ et  $g:\: x\longmapsto \dfrac{1}{x}$
 
On a $D_{f}=\mathbb{R}$ et $D_{g}=\mathbb{R^{*}}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$
 
Pour tout $x\in D_{f}=\mathbb{R}$ tel que $f(x)\neq 0$ c'est-à-dire pour $x^{2}-1\neq 0$ ou encore pour $x\in D=\mathbb{R}\setminus\{-1\;;\ 1\}$, la composée $g\circ f$ des deux applications $f$ et $g$ est
 
$(g\circ f)(x)=g[f(x)]=g[(x^{2}-1)]=\dfrac{1}{x^{2}-1}$
 
\begin{eqnarray} g\circ f\;:\;\mathbb{R}\setminus\{-1\;;\ 1\} & \longrightarrow & \mathbb{R} \nonumber \\ x & \longmapsto & \dfrac{1}{x^{2}-1} \nonumber \end{eqnarray}

Exemple :

Soit :
\begin{eqnarray} f \;:\;]-1\;;\ 1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \nonumber \\ x & \longmapsto & \dfrac{1-x}{1+x} \nonumber \end{eqnarray}
 
Calculons $f\circ f=f^{2}$
 
On a : $\forall\;x\in\;]-1\;;\ 1]$
\begin{eqnarray} f^{2}(x)=(f\circ f)(x) & = & f\left[\dfrac{1-x}{1+x}\right] \nonumber \\ & = & \dfrac{1-\dfrac{1-x}{1+x}}{1+\dfrac{1-x}{1+x}} \nonumber \\ & = & \dfrac{\dfrac{1+x-1+x}{1+x}}{\dfrac{1+x+1-x}{1+x}} \nonumber \\ & = & x \nonumber \end{eqnarray}
 
et donc, 
\begin{eqnarray} f^{2}\;:\;]-1\;;\ 1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \nonumber \\ x & \longmapsto & x \nonumber \end{eqnarray}

Propriété :

La composition des applications est associatives $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$ mais attention! elle n'est pas commutative $g\circ f\neq f\circ g$

Exemple :

Soit :
\begin{eqnarray} f\;:\;\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \nonumber \\ x & \longmapsto & 2x+3 \nonumber \end{eqnarray}
 
et 
\begin{eqnarray} g\;:\;\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \nonumber \\ x & \longmapsto & x^{2} \nonumber \end{eqnarray}
 
 
alors, $\forall\;x\in\mathbb{R}\;,\ (g\circ f)(x)=g[2x+3]=(2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9$
 
et $\forall\;x\in\mathbb{R}\;,\ (f\circ g)(x)=f[x^{2}]=2x^{2}+3$
 
et donc, 
\begin{eqnarray} g\circ f\;:\;\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \nonumber \\ x & \longmapsto & 4x^{2}+12x+9 \nonumber \end{eqnarray}
 
et
\begin{eqnarray} f\circ g\;:\;\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \nonumber \\ x & \longmapsto & 2x^{2}+3 \nonumber \end{eqnarray}
 
Par conséquent, $g\circ f\neq f\circ g$ (même si les deux composée existent)

Attention !

Il ne faut pas confondre le produit de deux fonctions et la composition de ces deux fonctions.

Exemple :

Considérons les deux fonctions $f\;:\; x\longmapsto x-1$ et $g\;:\; x\longmapsto \dfrac{1}{x^{2}+1}$ , ces deux fonctions sont définies sur $D=\mathbb{R}$
 
La fonction produit $fg$ est la fonction 
 
$fg\;:\; x\longmapsto \dfrac{x-1}{x^{2}+1}$ 
 
La fonction composée $g\circ f$ est la fonction 
 
$(g\circ f)(x)=g[f(x)]=g[(x-1)]=\dfrac{1}{(x-1)^{2}+1}$
 
Soit  $g\circ f\;:\; x\longmapsto \dfrac{1}{x^{2}-2x+2}$

IV Les formules de changement de repère (par translation)

Le plan est muni d'un repère $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$ et $\mathcal{C}_{f}$ est la courbe représentative de $y=f(x)$ dans ce repère.
 
Soit $\Omega$ le point de coordonnées $(a, b)$ dans le repère $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$.
 
Alors, $\overrightarrow{O\Omega}=a\vec{i}+b\vec{j}$
 
Quelle est l'équation de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ dans le nouveau repère $(\Omega;\ \vec{i},\ \vec{j})\;?$ 
 
Désignons par $(x,\ y)$ les (anciennes) coordonnées d'un point $M$ du plan dans le repère $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$
 
Vectoriellement, on peut écrire $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}$ et par $(X,\ Y)$ les (nouvelles) coordonnées du même point $M$ dans le repère $(\Omega;\ \vec{i},\ \vec{j})$
 
De même, vectoriellement $\overrightarrow{\Omega M}=X\vec{i}+Y\vec{j}$
 
La relation de Chasles $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{O\Omega}+\overrightarrow{\Omega M}$ donne par passage aux coordonnées 
 
$\left\{\begin{array}{lcr} x &=& X+a\\ y &=& Y+b\end{array}\right.$ ou encore $\left\{\begin{array}{lcr} X &=& x-a\\ Y &=& y-b\end{array}\right.$
 
qui sont les formules de changement de repère (par translation)

V Restriction et prolongement d'une fonction

$\centerdot\ \ $ Soit $f$ une fonction numérique de la variable réelle $x$.
On dit que $f_{1}$ est une restriction de $f$ sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ si, et seulement si, $$I\subset D_{f}\;\text{ et }\;\forall\;x\in I\;,\ f_{1}(x)=f(x)$$
la restriction de $f$ sur peut être notée $f/I$

Exemple :

a) $f(x)=\left|\dfrac{x^{2}-4}{x}\right|$
 
Soit $f_{1}$ la restriction de $f$ sur $[-2\;;\ 0[$
 
On a $f_{1}(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x}$
 
b) $g(x)=\left\{\begin{array}{lll}\dfrac{x^{2}-4x}{x^{2}-1}\quad &\text{si }& x\leq 0 \\ \\  \sqrt{x^{2}+x}\quad &\text{si }& x>0\end{array}\right.$
 
Soient $g_{1}$ et $g_{2}$ les restrictions de $g$ respectivement sur $]0\;;\ +\infty[$ et sur $]-\infty\;;\  -1[\cup]-1\;;\ 0]$ 
 
alors on a : $g_{1}(x)=\sqrt{x^{2}+x}$ et $g_{2}=\dfrac{x^{2}-4x}{x^{2}-1}$
 
$\centerdot\ \ $ Soit $f$ une fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $I.$
On dit que $f_{1}$ est un prolongement de $f$ sur un intervalle $J$ de $\mathbb{R}$ si, et seulement si, $$I\subset J\;\text{ et }\;\forall\;x\in I\;,\ f(x)=f_{1}(x)$$

Exemple :

$h(x)=x^{2}\sin\dfrac{1}{x}\;,\ D_{h}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$
 
Soit $h_{1}(x)=\left\{\begin{array}{lll} x^{2}\sin\dfrac{1}{x}\quad &\text{si }& x\neq 0 \\ \\ 0\quad &\text{si }& x=0 \end{array}\right.$
 
alors on a : $I=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ et $J=\mathbb{R}$
 
ainsi, $h_{1}$ est un prolongement de $h$ sur $\mathbb{R}$
 

VI Parité et éléments de symétrie

VI.1 Parité d'une fonction

$\centerdot\ \ $ On dit qu'une fonction $f$ est paire si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont vérifiées
 
$C_{1}\;:\quad\text{ si }\;x\in D_{f}\;\text{ alors }-x\in D_{f}$
 
$C_{2}\;:\quad\forall\;x\in D_{f}\;;\ f(-x)=f(x)$ 
 
$\centerdot\ \ $ On dit qu'une fonction $f$ est impaire si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont vérifiées
 
$C_{1}\;:\quad\text{ si }\;x\in D_{f}\;\text{ alors }-x\in D_{f}$
 
$C_{2}\;:\quad\forall\;x\in D_{f}\;;\ f(-x)=-f(x)$ 

Exemple : 

Étudier la parité des fonctions suivantes :
 
a) $f(x)=x^{2}$
 
b) $g(x)=x\sqrt{x^{2}-1}$
 
c) $h(x)=\dfrac{2x}{x^{2}-4}$
 
d) $k(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x-2}$

Solution

a) On a $D_{f}=\mathbb{R}$
 
$C_{1}\;:\;x\in \mathbb{R}\;\text{ alors }-x\in \mathbb{R}$
 
$C_{2}\;:\forall\;x\in \mathbb{R}\;;\ f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)$
 
d'où $f$ est paire
 
b) $D_{g}=]-\infty\;;\ -1]\cup[1\;;\ +\infty[$
 
$C_{1}\;:$
\begin{eqnarray} x\in D_{g} & \Rightarrow & x\leq -1\;\text{ ou }\;x\geq 1 \nonumber \\ & \Rightarrow & -x\geq 1\;\text{ ou }\;-x\leq -1 \nonumber \\ & \Rightarrow & -x\in D_{g} \nonumber \end{eqnarray}
$C_{2}\;:\forall\;x\in D_{g}\;;\ g(-x)=(-x)\sqrt{(-x)^{2}-1}=-x\sqrt{x^{2}-1}=-g(x)$
 
donc, $g$ est impaire
 
c) $D_{h}=\mathbb{R}\setminus\{-2\;;\ 2\}$
 
$C_{1}\;:$
\begin{eqnarray} x\in D_{h} & \Rightarrow & x\neq -2\;\text{ et }\;x\neq 2 \nonumber \\ & \Rightarrow & -x\neq 2\;\text{ et }-x\neq -2 \nonumber \\ & \Rightarrow & -x\in D_{h} \nonumber \end{eqnarray}
 
$C_{2}\;:\forall\;x\in D_{h}\;;\ h(-x)=\dfrac{2(-x)}{(-x)^{2}-4}=\dfrac{-2x}{x^{2}-4}=-\dfrac{2x}{x^{2}-4}=-h(x)$
 
donc, $h$ est impaire
 
d) $D_{k}=\mathbb{R}\setminus\{2\}$
 
$C_{1}\;:\;-2\in D_{k}\;\text{ or }2\notin D_{k}\;,\ $ donc $k$ n'est ni paire ni impaire.

VI.2 Centre de symétrie - axe de symétrie

VI.2.1 Centre de symétrie

$\centerdot\ \ $ On dit que $S\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$ est centre de symétrie pour $\mathcal{C}_{f}$ si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont vérifiées
 
$\left\{\begin{array}{lll} C_{1}\;:\;\text{ si }\;x\in D_{f}\;\text{ alors }2a-x\in D_{f}\\ C_{2}\;:\;\forall\; x\in D_{f}\;,\ f(2a-x)+f(x)=2b \end{array}\right.\quad\text{ ou }\;\left\{\begin{array}{lll} C_{1}\;:\;\text{ si }\;a-x\in D_{f}\;\text{ alors }a+x\in D_{f}\\ C_{2}\;:\;\forall\; x\in D_{f}\;,\ f(a+x)+f(a-x)=2b \end{array}\right.$
 
$\centerdot\ \ $ On dit que $S\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$ est centre de symétrie pour $\mathcal{C}_{f}$ si, et seulement si, l'expression de $\mathcal{C}_{f}$ dans le repère $(S;\ \vec{i},\ \vec{j})$ est celle d'une fonction impaire.
 
Avec la formule de changement de repère, on aura $\left\{\begin{array}{lcr} x=X+a\\ y=Y+b  \end{array}\right.$

Exemple : 

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{2x^{2}-5x-2}{x-3}$
 
Montrer que $I\begin{pmatrix} 3\\ 7 \end{pmatrix}$ est le centre de symétrie.

Solution 

1er méthode :
 
On a : $D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{3\}$
 
$C_{1}\;:$
\begin{eqnarray} 3-x\in D_{f} & \Rightarrow & 3-x\neq 3 \nonumber \\ & \Rightarrow & -x\neq 0 \nonumber \\ & \Rightarrow & x\neq 0 \nonumber \\ & \Rightarrow & x+3\neq 3 \nonumber \\ & \Rightarrow & 3+x\in D_{f} \nonumber \end{eqnarray}
 
$C_{2}\;:$
\begin{eqnarray} f(3-x)+f(3+x) & = & \dfrac{2(3-x)^{2}-5(3-x)-2}{(3-x)-3}+\dfrac{2(3+x)^{2}-5(3+x)-2}{(3+x)-3} \nonumber \\ & = & \dfrac{2x^{2}-12x+18-15+5x-2}{-x}+\dfrac{2x^{2}+12x+18-15-5x-2}{x} \nonumber \\ & = & \dfrac{-2x^{2}+7x-1+2x^{2}+7x+1}{x} \nonumber \\ & = & \dfrac{14x}{x} \nonumber \\ & = & 14 \nonumber \\ & = & 2(7) \nonumber \end{eqnarray}
 
donc, $I$ est centre de symétrie pour $\mathcal{C}_{f}$
 
2em méthode :
 
Soit $f(x)=\dfrac{2x^{2}-5x-2}{x-3}=y$
 
En considérant le repère $(I;\ \vec{i},\ \vec{j})$, on aura $\left\{\begin{array}{lcr} x=X+3\\ y=Y+7 \end{array}\right.$
 
Ce qui donne :
 
\begin{eqnarray} Y+7 & = & \dfrac{2(X+3)^{2}-5(X+3)-2}{(X+3)-3} \nonumber \\ & = & \dfrac{2X^{2}+12X+18-5X-15-2}{X} \nonumber \\ Y & = & \dfrac{2X^{2}+12X+18-5X-15-2-7X}{X} \nonumber \\ & = & \dfrac{2X^{2}+1}{X} \nonumber \end{eqnarray}
 
$Y=\dfrac{2X^{2}+1}{X}\;\exists\;\Leftrightarrow\;X\neq 0$
 
Sur $(I;\ \vec{i},\ \vec{j})$, on a $f(X)=\dfrac{2X^{2}+1}{X}$
 
$C_{1}\;:$
\begin{eqnarray} X\in D_{f} & \Rightarrow & X\neq 0 \nonumber \\ & \Rightarrow & -X\neq 0 \nonumber \\ & \Rightarrow & -X\in D_{f} \nonumber \end{eqnarray}
 
$C_{2}\;:\forall\;X\in D_{f}\;;\ f(-X)=\dfrac{2(-X)^{2}+1}{-X}=\dfrac{2X^{2}+1}{-X}=-\dfrac{2X^{2}+1}{X}=-f(X)$
 
donc, $f$ est impaire ; d'où $I$ est centre de symétrie.

VI.2.2 Axe de symétrie

$\centerdot\ \ $ On dit que la droite d'équation $x=a$ est axe de symétrie pour $\mathcal{C}_{f}$ si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont vérifiées
 
$\left\{\begin{array}{lll} C_{1}\;:\;\text{ si }\;x\in D_{f}\;\text{ alors }2a-x\in D_{f}\\ C_{2}\;:\;\forall\; x\in D_{f}\;,\ f(2a-x)=f(x)\end{array}\right.\quad\text{ ou }\;\left\{\begin{array}{lll} C_{1}\;:\;\text{ si }\;a+x\in D_{f}\;\text{ alors }a-x\in D_{f}\\ C_{2}\;:\;\forall\; x\in D_{f}\;,\ f(a+x)=f(a-x)\end{array}\right.$
 
$\centerdot\ \ $ On dit que $x=a$ est un axe de symétrie pour $\mathcal{C}_{f}$ si, et seulement si, l'expression de $\mathcal{C}_{f}$ dans le repère $(S;\ \vec{i},\ \vec{j})$ où $S\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$ est celle d'une fonction paire.

Exemple :

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=2x^{2}-5x+1$.
Montrer que sa courbe représentative  admet la droite d'équation $x=\dfrac{5}{4}$ comme axe de symétrie

Solution 

$D_{f}=\mathbb{R}$, donc $\forall\;x\in D_{f}\;,\ \dfrac{5}{4}+x\in D_{f}\;\text{ et }\dfrac{5}{4}-x\in D_{f}$
 
donc, $C_{1}$ est vérifiée
 
pour la condition $C_{2}$ on a :
 
\begin{eqnarray} f\left(\dfrac{5}{4}+x\right) & = & 2\left(\dfrac{5}{4}+x\right)^{2}-5\left(\dfrac{5}{4}+x\right)+1 \nonumber \\ & = & \dfrac{25}{8}+5x+2x^{2}-\dfrac{25}{4}-5x+1 \nonumber \\ & = & -\dfrac{17}{8}+2x^{2} \nonumber \end{eqnarray}
 
et 
\begin{eqnarray} f\left(\dfrac{5}{4}-x\right) & = & 2\left(\dfrac{5}{4}-x\right)^{2}-5\left(\dfrac{5}{4}-x\right)+1 \nonumber \\ & = & \dfrac{25}{8}-5x+2x^{2}-\dfrac{25}{4}+5x+1 \nonumber \\ & = & -\dfrac{17}{8}+2x^{2} \nonumber \end{eqnarray}
 
Puisque $f\left(\dfrac{5}{4}+x\right)=f\left(\dfrac{5}{4}-x\right)\;\forall\; x\in\mathbb{R}\;;\ C_{2}$ est vérifiée.
 
Donc la droite d'équation $x=\dfrac{5}{4}$ est bien axe de symétrie pour $\mathcal{C}_{f}.$

Remarques :

$\centerdot\ \ $ Si $f$ est paire, alors l'axe des ordonnées est un axe de symétrie.
 
Ainsi, pour étudier une fonction paire $f$, il suffit de l'étudier sur $E=D_{f}\cap[0\;;\ +\infty[.$
 
Si $(\mathcal{C}_{f_{1}})$ est la courbe représentative de la restriction de $f$ à $E$, la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ représentant les variations de la fonction $f$, s'obtient en complétant $(\mathcal{C}_{f_{1}})$ par symétrie par rapport à l'axe $y'Oy.$
  
$\centerdot\ \ $ Si $f$ est impaire, alors l'origine du repère $(O)$ est le centre de symétrie.
 
Ainsi, pour étudier une fonction impaire $f$, il suffit de l'étudier sur $E=D_{f}\cap[0\;;\ +\infty[.$
 
Si $(\mathcal{C}_{f_{1}})$ est la courbe représentative de la restriction de $f$ à $E$, la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ représentant les variations de la fonction $f$, s'obtient en complétant $(\mathcal{C}_{f_{1}})$ par symétrie par rapport à l'origine $O.$
 
$\centerdot\ \ $ Pour étudier une fonction admettant le point $S\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$ comme centre de symétrie, il suffit de l'étudier sur $E=D_{f}\cap[a\;;\ +\infty[.$
 
Si $(\mathcal{C}_{f_{1}})$ est la courbe représentative de la restriction de $f$ à $E$, la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ représentant les variations de la fonction $f$, s'obtient en complétant $(\mathcal{C}_{f_{1}})$ par symétrie par rapport au point $S\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}.$
 
$\centerdot\ \ $ Pour étudier une fonction admettant la droite d'équation $x=a$ comme axe de symétrie de la courbe représentative de $f$, il suffit de l'étudier sur $E=D_{f}\cap[a\;;\ +\infty[.$
 
Si $(\mathcal{C}_{f_{1}})$ est la courbe représentative de la restriction de $f$ à $E$, la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ représentant les variations de la fonction $f$, s'obtient en complétant $(\mathcal{C}_{f_{1}})$ par symétrie par rapport à l'axe $x=a.$
 
$\centerdot\ \ $ Pour un axe de symétrie, il est nécessaire que le repère soit orthogonal.
 
$\centerdot\ \ $ Attention! La plupart des fonctions ne sont ni paires, ni impaires et donc n'admettent ni axe de symétrie, ni centre de symétrie.
 
$\centerdot\ \ $ Toute fonction $f$ définie sur une partie $E$ de $\mathbb{R}$ admettant le point $(O)$ pour centre de symétrie est la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire et cette décomposition est unique.
 
En effet : si $f=g+h$ où $g$ est paire et $h$ est impaire, on a
 
$f(x)=g(x)+h(x)\;$ et $\;f(-x)=g(x)-h(x)$
 
d'où,
 
$$g(x)=\dfrac{1}{2}\left[f(x)+f(-x)\right]\;\text{ et }\;h(x)=\dfrac{1}{2}\left[f(x)-f(-x)\right]$$
 
Réciproquement, les fonctions $g$ et $h$ ainsi déterminées à partir de $f$ sont respectivement paire et impaire et vérifient $f=g+h.$

Exemple :

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^{3}+5x^{2}-x+1.$
 
Cette fonction $f$ est la somme 
 
$-\ $ de la fonction $g$ paire $g:\:x\longmapsto 5x^{2}+1$ 
 
$-\ $ et de la fonction $h$ impaire $h:\:x\longmapsto -2x^{3}-x$

VI.3 Périodicité

$\centerdot\ \ $ On dit qu'une fonction $f$ est périodique de période $T$ si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont vérifiées
 
$$\left\{\begin{array}{lll} C_{1}\;:\;\text{ si }\;x\in D_{f}\;\text{ alors }x+T\in D_{f}\\ C_{2}\;:\;\forall\; x\in D_{f}\;,\ f(x+T)=f(x) \end{array}\right.$$
 
$\centerdot\ \ $ Si $T$ est une période pour $f$, tout multiple de $T$ non nul (c'est-à-dire $2T$, $3T$, $4T$...) est aussi une période pour $f$. Dans les cas usuels, l'une des périodes positives est plus petite que toutes les autres, c'est ce nombre qui est appelé plus précisément période de la fonction $f$ et sera noté $T$ (et par conséquent $T$ doit être le plus petit possible)
 
$\centerdot\ \ $ Pour $\omega\neq 0$, on reconnait la période des fonctions trigonométriques suivantes :
 
$-\ $ la fonction $x\longmapsto\cos(\omega x+\varphi)$ admet pour période $T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}$
 
$-\ $ la fonction $x\longmapsto\sin(\omega x+\varphi)$ admet pour période $T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}$
 
$-\ $ la fonction $x\longmapsto\tan(\omega x+\varphi)$ admet pour période $T=\dfrac{\pi}{|\omega|}$

Exemple :

Déterminer les périodes des fonctions suivantes :
 
$f(x)=\sin 2x\;,\ g(x)=\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{5}\right)\;,\ h(x)=\cos\left(\dfrac{x}{3}\right)$
 
$k(x)=4\sin 3x+5\cos 2x\;,\ m(x)=\tan 3x\;,\ \kappa(x)=\cos^{2} x$

Solution 

la fonction $f$ a pour période $T=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$
 
la fonction $g$ a pour période $T=\dfrac{2\pi}{3}$
 
la fonction $h$ a pour période $T=\dfrac{2\pi}{\dfrac{1}{3}}=6\pi$
 
la fonction $k(x)=4\sin 3x+5\cos 2x$ est la somme de deux fonctions de périodes respectives $T_{1}=\dfrac{2\pi}{3}$ et $T_{2}=\pi$
 
donc $3T_{1}=2\pi$ et $T_{2}=\pi$ sont aussi des périodes respectives de $\sin 3x$ et $\cos 2x$
 
alors le $PPCM$ de $3T_{1}$ et de  $T_{2}$ est à la fois période de $\sin 3x$ et de $\cos 2x$
 
ainsi, $T=PPCM(2\pi\;;\ \pi)=2\pi$ est la période de la fonction $k$
 
la fonction $m$ a pour période $T=\dfrac{\pi}{3}$
 
Pour déterminer la période de la fonction $\kappa(x)=\cos^{2} x$, il est nécessaire de linéariser cette expression trigonométrique, puisque $\cos^{2} x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$, l fonction $\kappa$ admet pour période $T=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$

Remarques :

Pour étudier une fonction $f$ de période $T$, il suffit de l'envisager sur $E=D_{f}\cap[\alpha\;;\ \alpha +T[$ avec $\alpha$ réel quelconque.
 
Si $(\mathcal{C}_{f_{1}})$ est la courbe représentative de la restriction de $f$ à $E$, la courbe $(\mathcal{C})$ représentant les variations de la fonction $f$, s'obtient en complétant $(\mathcal{C}_{f_{1}})$ par les arcs de courbe qui s'en déduisent par les translations de vecteur $k\vec{u}$ avec $k\in\mathbb{R}$ et $\vec{u}\begin{pmatrix} T\\ 0 \end{pmatrix}$

VII Variation d'une fonction

VII.1 Taux de variation

On appelle taux de variation d'une fonction $f$ de $x_{1}$ à $x_{2}$ noté $T^{x_{2}}_{x_{1}}$, le rapport entre $(f(x_{2})-f(x_{1}))$ et $(x_{2}-x_{1})$
 
On a $$T^{x_{2}}_{x_{1}}=\dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$$

Exemple :

Calculer les taux de variation des fonctions suivantes :
 
$f(x)=x^{3}\;,\ g(x)=x^{2}\;,\ h(x)=\dfrac{x^{2}-4x+4}{x-1}$

Solution 

$f(x)=x^{3}$, on a $D_{f}=\mathbb{R}\ $ et
 
\begin{eqnarray} T^{x_{2}}_{x_{1}} & = & \dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} \nonumber \\ & = & \dfrac{x_{2}^{3}-x_{1}^{3}}{x_{2}-x_{1}} \nonumber \\ & = & \dfrac{(x_{2}-x_{1})(x_{2}^{2}+x_{2}x_{1}+x_{1}^{2})}{x_{2}-x_{1}} \nonumber \\ & = & x_{2}^{2}+x_{2}x_{1}+x_{1}^{2} \nonumber \end{eqnarray}
 
$g(x)=x^{2}\;,\ D_{g}=\mathbb{R}$
 
on a :
\begin{eqnarray} T^{x_{2}}_{x_{1}} & = & \dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} \nonumber \\ & = & \dfrac{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}{x_{2}-x_{1}} \nonumber \\ & = & \dfrac{(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})}{x_{2}-x_{1}} \nonumber \\ & = & x_{2}+x_{1} \nonumber \end{eqnarray}
 
$h(x)=\dfrac{x^{2}-4x+4}{x-1}\;,\ D_{h}=\mathbb{R}\setminus\{1\}$
 
on a :
\begin{eqnarray} T^{x_{2}}_{x_{1}} & = & \dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} \nonumber \\ & = & \dfrac{\dfrac{x_{2}^{2}-4x_{2}+4}{x_{2}-1}-\dfrac{x_{1}^{2}-4x_{1}+4}{x_{1}-1}}{x_{2}-x_{1}} \nonumber \\ & = & \dfrac{x_{1}x_{2}^{2}-4x_{2}x_{1}+4x_{1}-x_{2}^{2}+4x_{2}-4-x_{1}^{2}x_{2}+4x_{2}x_{1}-4x_{2}+x_{1}^{2}-4x_{1}+4}{(x_{2}-1)(x_{1}-1)(x_{2}-x_{1})} \nonumber \\ & = & \dfrac{x_{1}x_{2}^{2}-x_{2}^{2}-x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}^{2}}{(x_{2}-1)(x_{1}-1)(x_{2}-x_{1})} \nonumber \\ & = & \dfrac{x_{1}x_{2}(x_{2}-x_{1})-(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})}{(x_{2}-1)(x_{1}-1)(x_{2}-x_{1})} \nonumber \\ & = & \dfrac{(x_{2}-x_{1})(x_{1}x_{2}-x_{2}-x_{1})}{(x_{2}-1)(x_{1}-1)(x_{2}-x_{1})} \nonumber \\ & = & \dfrac{x_{1}x_{2}-x_{2}-x_{1}}{(x_{2}-1)(x_{1}-1)} \nonumber \\ & = & 1-\dfrac{1}{(x_{2}-1)(x_{1}-1)} \nonumber \end{eqnarray}

VII.2 Définition 

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$
 
$\centerdot\ \ $ On dit qu'une fonction $f$ est croissante sur $I$ si, et seulement si, $$\forall\; x\;,\; y\; \in I\;;\ \text{ si } x\leq y\; \Rightarrow\; f(x)\leq f(y)\quad\text{ (ou si }x\geq y\; \Rightarrow\; f(x)\geq f(y))$$
 
 
$\centerdot\ \ $ On dit qu'une fonction $f$ est décroissante sur $I$ si, et seulement si, $$\forall\; x\;,\; y\; \in I\;;\ \text{ si } x\leq y\; \Rightarrow\; f(x)\geq f(y)\quad\text{ (ou si }x\geq y\; \Rightarrow\; f(x)\leq f(y))$$
 
 
$\centerdot\ \ $ On dit qu'une fonction $f$ est constante sur $I$ si, et seulement si,  $$\forall\; x\;,\; y\; \in I\;;\ f(x)=f(y)$$
 
 

VII.3 Propriétés

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}\;;\ x_{1}\;,\ x_{2}\;\in I$
 
Soit $T^{x_{2}}_{x_{1}}=\dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$ le taux de variation de $x_{1}$ à $x_{2}$, d'une fonction $f.$
 
$\centerdot\ \ $ Si $f\text{ est croissante  }(\nearrow)$ alors on a :
 
$\text{ si } x_{1}\leq x_{2}\; \Rightarrow\; f(x_{1})\leq f(x_{2})\;\text{ ou si }x_{1}\geq x_{2}\; \Rightarrow\; f(x_{1})\geq f(x_{2})$
 
Ainsi, $(x_{2}-x_{1})\;\text{ et }(f(x_{2}))$ ont même signe
 
Donc,  $$T^{x_{2}}_{x_{1}}\geq 0$$
 
$\centerdot\ \ $ Si $f\text{ est décroissante }(\searrow)$ alors on a :
 
$\text{ si } x_{1}\leq x_{2}\; \Rightarrow\; f(x_{1})\geq f(x_{2})\;\text{ ou si }x_{1}\geq x_{2}\; \Rightarrow\; f(x_{1})\leq f(x_{2})$
 
Ainsi, $(x_{2}-x_{1})\;\text{ et }(f(x_{2})-f(x_{1}))$ sont toujours de signes contraires.
 
Donc, $$T^{x_{2}}_{x_{1}}\leq 0$$
 
En conclusion on a :
 
$-\ $ Si $T^{x_{2}}_{x_{1}}\geq 0$ sur un intervalle $I$ alors $f\text{ est }\nearrow$ sur $I.$
 
$-\ $ Si $T^{x_{2}}_{x_{1}}\leq 0$ sur un intervalle $I$ alors $f\text{ est }\searrow$ sur $I.$

VII.4 Tableau de variation

a) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{2}.$
 
Montrer que $f\nearrow$ sur $[0\;;\ +\infty[$ et $f\searrow$ sur $]-\infty\;;\ 0].$
 
Soit $T^{x_{2}}_{x_{1}}=x_{2}+x_{1}$
 
On a :
 
$-\ $ sur $[0\;;\ +\infty[\;,\ x_{1}\geq 0\;\text{ et }x_{2}\geq 0$
 
alors, $x_{2}+x_{1}\geq 0\; \Rightarrow\; T^{x_{2}}_{x_{1}}\geq 0$
 
donc, $f\; \text{ est croissante sur }[0\;;\ +\infty[$
 
$-\ $ et sur $]-\infty\;;\ 0]\;,\ x_{1}\leq 0\;\text{ et }x_{2}\leq 0$ 
 
alors, $x_{2}+x_{1}\leq 0\; \Rightarrow\; T^{x_{2}}_{x_{1}}\leq 0$
 
donc, $f\; \text{ est décroissante sur }]-\infty\;;\ 0]$
 
Enfin, les variations de $f$ sont représentées dans le tableau ci-après, souvent appelé tableau des variations de $f$
 
$$\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x & -\infty & & 0 & & +\infty\\ \hline & & & & &  \\ f & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & 0 & & \\ \hline\end{array}$$
 
b) Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^{2}-4x+3.$
 
Montrer que $g\nearrow$ sur $[2\;;\ +\infty[$ et $g\searrow$ sur $]-\infty\;;\ 2].$
 
En effet, 
\begin{eqnarray} T^{x_{2}}_{x_{1}} & = & \dfrac{g(x_{2})-g(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} \nonumber \\ & = & \dfrac{x_{2}^{2}-4x_{2}+3-x_{1}^{2}+4x_{1}-3}{x_{2}-x_{1}} \nonumber \\ & = & \dfrac{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}-4x_{2}+4x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \nonumber \\ & = & \dfrac{(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})-4(x_{2}-x_{1})}{x_{2}-x_{1}} \nonumber \\ & = & \dfrac{(x_{2}-x_{1})[(x_{2}+x_{1})-4]}{x_{2}-x_{1}} \nonumber \\ & = & x_{2}+x_{1}-4 \nonumber \end{eqnarray}
 
donc, $T^{x_{2}}_{x_{1}}=x_{2}+x_{1}-4$
 
ainsi, sur $[2\;;\ +\infty[\;,\ x_{1}\geq 2\;\text{ et }x_{2}\geq 2$
 
alors $x_{2}+x_{1}-4\geq 0\; \Rightarrow\; T^{x_{2}}_{x_{1}}\geq 0$
 
d'où, $g\; \text{ est croissante sur }[2\;;\ +\infty[$\\
 
et sur $]-\infty\;;\ 2]\;,\ x_{1}\leq 2\;\text{ et }x_{2}\leq 2$
 
donc, $x_{2}+x_{1}-4\leq 0\; \Rightarrow\; T^{x_{2}}_{x_{1}}\leq 0$
 
d'où, $g\; \text{ est décroissante sur }]-\infty\;;\ 2]$
 
Enfin, les variations de $g$ sont représentées dans le tableau ci-après
 
$$\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x & -\infty & & 2 & & +\infty\\ \hline & & & & &  \\ g & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & -1 & & \\ \hline\end{array}$$

VIII Courbe d'une fonction - fonctions associées

VIII.1 Graphe de $x^{2}\;,\ \dfrac{1}{x}\;,\ \sqrt{x}$ et de $x^{3}$

Le graphe d'une fonction $f$ est l'ensemble des points $M\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ du plan vérifiant $x\in D_{f}$ et $y=f(x)$
 
On note $(\mathcal{C}_{f})=\left\{M\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\;\text{ tel que }x\in D_{f}\;\text{ et }y=f(x)\right\}$
 
a) Soit $f(x)=x^{2}\;,\ D_{f}=\mathbb{R}$
 
$-\ $ Parité 
 
$f$ est paire, alors l'axe des ordonnées est un axe de symétrie.
 
Donc on peut étudier $f$ sur $[0\;;\ +\infty[.$ 
 
$-\ $ Monotonie 
 
Soit $T^{x_{2}}_{x_{1}}=x_{2}+x_{1}$
 
On a :
 
sur $[0\;;\ +\infty[\;,\ x_{1}\geq 0\;\text{ et }x_{2}\geq 0$
 
alors $x_{2}+x_{1}\geq 0\; \Rightarrow\; T^{x_{2}}_{x_{1}}\geq 0$
 
donc $f\; \text{ est croissante sur }[0\;;\ +\infty[$
 
$-\ $ Tableau de variation
 
$$\begin{array}{|c|lcr|}\hline x & 0 &  & +\infty\\ \hline T^{x_{2}}_{x_{1}} &  & + &  \\ \hline & & &  \\ f & & \nearrow &  \\ & 0 & &  \\ \hline\end{array}$$
 
$-\ $ Graphe

 
 
 
 
b) Soit $g(x)=\dfrac{1}{x}\;,\ D_{g}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$
 
$-\ $ Parité 
 
$C_{1}\;:$
\begin{eqnarray} x\in D_{g} & \Rightarrow & x\neq 0 \nonumber \\ & \Rightarrow & -x\neq 0 \nonumber \\ & \Rightarrow & -x\in D_{g} \nonumber \end{eqnarray}
 
$C_{2}\;:\forall\;x\in D_{f}\;;\ g(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-g(x)$
 
donc $g$ est impaire ; d'où $O$ est centre de symétrie.
 
Ainsi, on pourra étudier la fonction $g$ sur $]0\;;\ +\infty[.$ 
 
$-\ $ Monotonie
 
On a 
\begin{eqnarray} T^{x_{2}}_{x_{1}} & = & \dfrac{g(x_{2})-g(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} \nonumber \\ & = & \dfrac{\dfrac{1}{x_{2}}-\dfrac{1}{x_{1}}}{x_{2}-x_{1}} \nonumber \\ & = & \dfrac{x_{1}-x_{2}}{x_{1}x_{2}(x_{2}-x_{1})} \nonumber \\ & = & \dfrac{-(x_{2}-x_{1})}{x_{1}x_{2}(x_{2}-x_{1})} \nonumber \\ & = & -\dfrac{1}{x_{1}x_{2}} \nonumber \end{eqnarray}
 
sur $]0\;;\ +\infty[\;,\ x_{1}\geq 0\;\text{ et }x_{2}\geq 0$
 
alors, $x_{1}x_{2}\geq 0\; \Rightarrow\; \dfrac{1}{x_{1}x_{2}}\geq 0$
 
donc, $T^{x_{2}}_{x_{1}}=-\dfrac{1}{x_{1}x_{2}}\leq 0$
 
d'où, $g\; \text{ est décroissante sur }]0\;;\ +\infty[$
 
$-\ $ Tableau de variation
 
$$\begin{array}{|c||lcr|}\hline x & 0 &  & +\infty\\ \hline T^{x_{2}}_{x_{1}} &  & - &  \\ \hline & & &  \\ g & & \searrow &  \\ &  & &  \\ \hline\end{array}$$
 
$-\ $ Graphe 

 
 
 
c) Soit $h(x)=x^{3}\;,\ D_{h}=\mathbb{R}$
 
$-\ $ Parité 
 
$h$ est impaire, donc le point $O$ est centre de symétrie.
 
Ainsi, l'étude de $h$ peut se faire sur $[0\;;\ +\infty[.$ 
 
$-\ $ Monotonie 
 
Soit $T^{x_{2}}_{x_{1}}=x_{2}^{2}+x_{2}x_{1}+x_{1}^{2}$
 
On a :
 
sur $[0\;;\ +\infty[\;,\ x_{1}\geq 0\;\text{ et }x_{2}\geq 0$
 
alors, $x_{2}^{2}+x_{2}x_{1}+x_{1}^{2}\geq 0\; \Rightarrow\; T^{x_{2}}_{x_{1}}\geq 0$
 
donc, $h\; \text{ est croissante sur }[0\;;\ +\infty[$
 
$-\ $ Tableau de variation
 
$$\begin{array}{|c|lcr|}\hline x & 0 &  & +\infty\\ \hline T^{x_{2}}_{x_{1}} &  & + &  \\ \hline & & &  \\ h & & \nearrow &  \\ & 0 & &  \\ \hline \end{array}$$
 
$-\ $ Graphe

 

 
d)  Soit $k(x)=\sqrt{x}\;,\ D_{k}=[0\;;\ +\infty[.$ 
 
$-\ $ Parité 
 
$k$ n'est ni paire ni impaire ; la condition $C_{1}$ n'est pas vérifiée. 
 
$-\ $ Monotonie 
 
On a :
\begin{eqnarray} T^{x_{2}}_{x_{1}} & = & \dfrac{k(x_{2})-k(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} \nonumber \\ & = & \dfrac{\sqrt{x_{2}}-\sqrt{x_{1}}}{\sqrt{x_{2}^{2}}-\sqrt{x_{1}^{2}}} \nonumber \\ & = & \dfrac{\sqrt{x_{2}}-\sqrt{x_{1}}}{(\sqrt{x_{2}}-\sqrt{x_{1}})(\sqrt{x_{2}}+\sqrt{x_{1}})} \nonumber \\ & = & \dfrac{1}{\sqrt{x_{2}}+\sqrt{x_{1}}} \nonumber \end{eqnarray}
 
sur $[0\;;\ +\infty[\;,\ x_{1}\geq 0\;\text{ et }x_{2}\geq 0$
 
alors, $\sqrt{x_{2}}+\sqrt{x_{1}}\geq 0\; \Rightarrow\; \dfrac{1}{\sqrt{x_{2}}+\sqrt{x_{1}}}\geq 0$
 
donc, $T^{x_{2}}_{x_{1}}\geq 0$
 
d'où, $k\; \text{ est croissante sur } [0\;;\ +\infty[$
 
$-\ $ Tableau de variation
 
$$\begin{array}{|c|lcr|}\hline x & 0 &  & +\infty\\ \hline T^{x_{2}}_{x_{1}} &  & + &  \\ \hline & & &  \\ k & & \nearrow &  \\ & 0 & &  \\ \hline \end{array}$$
 
$-\ $ Graphe 

 

 

VIII.2 Fonctions associées

Soit $f$ une fonction définie sur une partie $I$ de $\mathbb{R}.$
 
Les fonctions $g\;,\ h\;,\ k\;,\ m$ et $\ell$ définies par :
 
$g(x)=-f(x)\;,\ h(x)=|f(x)|\;,\ k(x)=f(x)+a\;,\ m(x)=f(x-a)$ et $\ell(x)=f(x-a)+b$ sont appelées fonctions associées à $f.$
 
a) $g(x)=-f(x)$ 
 
Soient $M\begin{pmatrix} x\\ f(x)\end{pmatrix}$ et $M'\begin{pmatrix} x\\ g(x)=-f(x) \end{pmatrix}$ deux points du plan.
 
Alors $M$ et $M'$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses $(x'Ox).$
 
Donc $\mathcal{C}_{g}$ et  $\mathcal{C}_{f}$ sont symétriques par rapport à $(x'Ox).$
 
b) $h(x)=|f(x)|$
 
On a $h(x)=\left\{\begin{array}{lcl} f(x)\;\text{ si }\;f(x) &\geq & 0\;\Rightarrow\;\mathcal{C}_{g}=\mathcal{C}_{f}\\ -f(x)\;\text{ si }\;f(x) &\leq & 0\;\Rightarrow\;\mathcal{C}_{g}\;\text{ est symétrique de }\mathcal{C}_{f}\;\text{ par rapport à }(x'Ox) \end{array}\right.$
 
c) $k(x)=f(x)+a$
 
Soient $M\begin{pmatrix} x\\ f(x) \end{pmatrix}$ et $M'\begin{pmatrix} x\\ f(x)+a \end{pmatrix}$ deux points du plan.
 
On a $\overrightarrow{MM'}\begin{pmatrix} 0\\ a \end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\overrightarrow{MM'}=a.\vec{j}$
 
donc $M'=t_{a.\vec{j}}(M)$
 
Ainsi, $\mathcal{C}_{k}$ est l'image de $\mathcal{C}_{f}$ par la translation de vecteur $a.\vec{j}.$
 
Par exemple, si $k(x)=f(x)+2$, alors $\mathcal{C}_{k}$ est l'image de $\mathcal{C}_{f}$ par la translation de vecteur $2\vec{j}.$
 
d) $ m(x)=f(x-a)$
 
Soient $M\begin{pmatrix} x\\ f(x) \end{pmatrix}$ et $M'\begin{pmatrix} x+a\\ m(x+a)=f(x) \end{pmatrix}$ deux points du plan.
 
On a $\overrightarrow{MM'}\begin{pmatrix} a\\ 0 \end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\overrightarrow{MM'}=a.\vec{i}$
 
donc $M'=t_{a.\vec{i}}(M)$
 
Ainsi, $\mathcal{C}_{m}$ est l'image de $\mathcal{C}_{f}$ par la translation de vecteur $a.\vec{i}.$

Exemple :

$m(x)=f(x-2)$, donc $\mathcal{C}_{m}$ est l'image de $\mathcal{C}_{f}$ par la translation de vecteur $2\vec{i}.$
 
e) $\ell(x)=f(x-a)+b$
 
$M\begin{pmatrix} x-a\\ f(x-a) \end{pmatrix}$ et $M'\begin{pmatrix} x\\ f(x-a)+b \end{pmatrix}$ deux points donnés.
 
Alors $\overrightarrow{MM'}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\overrightarrow{MM'}=a.\vec{i}+b.\vec{j}$
 
donc $M'$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $a.\vec{i}+b.\vec{j}$
$M'=t_{a.\vec{i}+b.\vec{j}}(M)$
 
d'où, $\mathcal{C}_{\ell}$ est l'image de $\mathcal{C}_{f}$ par la translation de vecteur $a.\vec{i}+b.\vec{j}.$

Exemple 

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par : $$f(x)=\dfrac{x^{3}+2x^{2}-1}{x-1}$$
Représenter $\mathcal{C}_{g}\;,\ \mathcal{C}_{h}\;,\ \mathcal{C}_{k}\;,\ \mathcal{C}_{m}$ et $\mathcal{C}_{f_{1}}$  les courbes respectives des fonctions $g\;,\ h\;,\ k\;,\ m$ et $f_{1}$ définies par : 
 
$g(x)=-f(x)\;,\ h(x)=|f(x)|\;,\ k(x)=f(x)+2\;,\ m(x)=f(x-2)$ et $f_{1}(x)=f(x+1)+2$

Solution


 
 

Auteur: 
Seyni Ndiaye

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