Série d'exercices sur les fonctions polynômes 1eS

Classe: 
Première
 

Exercice 1

degré d'un polynôme
 
1) On considère le polynôme $P(x)=(m^{2}-m)x^{3}+mx^{2}-(m-1)x-3m-2$
 
Déterminer $m$ tel que :
 
$a)\ deg\;P=3\;;\qquad b)\ deg\;P=2\;;\qquad c)\ deg\;P=1$
 
2) Reprendre les questions $a)\;,\ b)$ et $c)$ ci-dessus avec le polynôme $Q(x)$ suivant :
 
$Q(x)=(m^{3}-m^{2}-6m)x^{3}-(m^{2}+m-2)x^{2}+(m-1)x+2m-1.$

Exercice 2

degré d'un polynôme
 
Déterminer, suivant les valeurs de $m$, le degré du polynôme $f(x)$ dans chacun des cas ci-après :
 
$a)\ f(x)=2x^{5}-3(m+2)x^{3}+7\;;\qquad b)\ f(x)=(m^{2}+1)x^{2}+mx+m$
 
$c)\ f(x)=(m-1)x^{3}+(m+1)x^{2}-5x$
 
$d)\ f(x)=(1-m^{2})x^{3}+2(m+1)x^{2}+3x-m.$

Exercice 3

factorisation d'un polynôme
 
Dans chacun des cas suivants, montrer que $x_{0}$ est une racine de $P(x)$ puis factoriser $P(x)$ (en polynômes du premier degré si possible).
 
$1)\ P(x)=x^{3}-21x+36\text{ et }x_{0}=3\;;\qquad 2)\ P(x)=2x^{3}+3x^{2}-1\text{ et }x_{0}=-1$
 
$3)\ P(x)=x^{3}-8x^{2}+23x-24\text{ et }x_{0}=3$
 
$4)\ P(x)=2x^{3}-7x^{2}-5x+4\text{ et }x_{0}=-1.$
 
$5)f (x)=3x^{4}-2x^{3}+2x-3\text{ et }x_{0}=-1$
 
$6)\ P(x)=-3x^{3}+2x^{2}+9x-6\text{ et }x_{0}=\sqrt{3}$
 
$7)\ f(x)=2x^{4}+x^{3}-6x^{2}+x+2\text{ et }x_{0}=-2$
 
$8)\ P(x)=x^{4}-4x^{2}-x+2\text{ et }x_{0}=2.$

Exercice 4

Calcul de $1+2+3+\cdots+n$
 
1) Déterminer les polynômes $f(x)$ de degré 2 vérifiant la relation $P(x)-P(x?1)=x$ , quel que soit $x\in\;\mathbb{R}$
 
2) En donnant successivement à $x$ les valeurs $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\cdots\;,\ n$ dans la relation ci-dessus et en faisant la somme membre à membre des $n$ relations obtenues, exprimer la somme $1+2+3+\cdots+n$ (somme des $n$ premiers entiers naturels non nuls) en fonction de $n$

Exercice 5

Calcul de $12+22+32+\cdots+n^{2}$
 
1) Démontrer qu'il existe un unique polynôme $P$ de degré 3 qui s'annule en 0 et qui vérifie l'égalité suivante : 
 
$P(x)-P(x-1)=x^{2}$ , quel que soit $x\in\;\mathbb{R}$
 
2) En donnant successivement à $x$ les valeurs $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\cdots\;,n$ dans la relation ci-dessus et en faisant la somme membre à membre des $n$ relations obtenues, exprimer la somme $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}$ en fonction de $n.$

Exercice 6

Calcul de $$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}$$
 
1) Démontrer qu'il existe un unique polynôme $P$ de degré 4 qui s'annule en 0 et qui vérifie l'égalité suivante :
 
$P(x)-P(x-1)=x^{3}$, quel que soit $x\in\;\mathbb{R}.$
 
(N.B factoriser $f(x)$
 
2) a) En donnant successivement à $x$ les valeurs $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\cdots\;,\ n$ dans la relation ci-dessus et en faisant la somme membre à membre des $n$ relations obtenues, exprimer la somme $1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}$ en fonction de $n.$
 
b) En utilisant la relation $1+2+3+\cdots+n =\dfrac{n(n+1)}{2}$,
 
montrer que :
$$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=(1+2+3+\cdots+n)^{2}$$

Exercice 7 

Calcul de $$1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots+(2n-1)^{3}$$
 
1) Déterminer $P(x)$ polynôme de degré 4, tel que, pour tout réel $x$,
$$P(x+1)-P(x)=(2x-1)^{3}$$
 
2) En déduire l'expression en fonction de $n$ de la somme
$$1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots+(2n-1)^{3}$$

Exercice 8

Calcul de $1\times 2+2\times 3+3\times 4+\cdots+n(n+1)$
 
1) Déterminer les polynômes $f(x)$ de degré 2 vérifiant la relation :
 
$P(x)-P(x-1)=x^{2}+x$ , quel que soit $x\in\;\mathbb{R}.$
 
2) En déduire l'expression en fonction de $n$ de la somme
$$1\times 2+2\times 3+3\times 4+\cdots+n(n+1)$$

Exercice 9

Calcul de $$1\times 2\times 3+2\times 3\times 4+3\times 4\times 5+\cdots+n(n+1)(n+2)$$
 
1) Déterminer les polynômes $f(x)$ de degré 2 vérifiant la relation :
 
$P(x+1)-P(x)=x(x+1)(x+2)$, quel que soit $x\in\;\mathbb{R}.$
 
2) En déduire l'expression en fonction de $n$ de la somme $$1\times 2\times 3+2\times 3\times 4+3\times 4\times 5+\cdots+n(n+1)(n+2)$$

Exercice 10

Déterminer un polynôme du second degré divisible par $(x-2)$ et par $(x+1)$, et dont le reste de la division par $(x-1)$ soit 5.

Exercice 11

Déterminer un polynôme du troisième degré divisible par $(x-1)$ et par $(x+2)$, dont les restes respectifs des divisions par $(x+1)$ et $(x-3)$ soient 10 et 30.

Exercice 12

Soient $A(x)$ et $B(x)$ polynômes fixés.
 
Déterminer les polynômes $Q(x)$ et $R(x)$ tels que :
 
$A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\text{ avec }deg *\;R(x)<deg\;B(x)\text{ ou }R(x)=0.$
 
(Autrement dit, effectuer la division euclidienne de $A(x)$ par $B(x)$).
 
$1)\ A(x)=2x^{3}-5x^{2}-6x+1\text{ et } B(x)=x^{2}-3x+1$
 
$2)\ A(x)=x^{5}-3x^{4}+5x^{3}-x+9\text{ et }B(x)=x^{3}-x+2.$
 
$3)\ A(x)=2x^{4}+x^{3}-10x^{2}+6x-5\text{ et }B(x)=x^{2}+x-5$

Exercice 13

Simplifier les quotients suivants :
 
$A(x)=\dfrac{x^{3}-10x+3}{x^{2}-5x+6}\;;\qquad B(x)=\dfrac{x^{4}+4x^{3}-6x^{2}-7x-10}{x^{2}+3x-10}$
 
$C(x)=\dfrac{2x^{3}+17x^{2}+20x-75}{x^{3}+9x^{2}+15x-25}\;;\qquad D(x)=\dfrac{x^{4}+x^{3}-x-1}{x^{4}-3x^{3}+4x^{2}+3x-5}$

Exercice 14

Soit $P(x)=\dfrac{x(x-b)(x-c)}{a(a-b)(a-c)}+\dfrac{x(x-c)(x-a)}{b(b-c)(a-c)}+\dfrac{x(x-a)(x-b)}{c(c-a)(c-b)}$
 
Calculer $P(a)\;,\ P(b)\;,\ P(c)$
 
Simplifier $P(x)$ 

Exercice 15

Soit $P(x)=2x^{4}x^{3}-10x^{2}+3$
 
1) Déterminer un polynôme $Q(x)$, et un polynôme $R(x)$ du premier degré, tels que :
 
$P(x)=(x^{2}-2x-1)Q(x)+R(x)$ 
 
2) En déduire le quotient et le reste de la division de $P(x)$ par $(x-1-\sqrt{2})$
 
3) Déterminer $P(1-\sqrt{2})$

Exercice 16

1) Après avoir déterminé une racine évidente, résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :
$$x^{3}+2x^{2}-13x+10=0$$ 
 
2) Les restes des divisions d'un polynôme $P(x)$ par $x-1$, par $x+5$, et par $x-2$ sont respectivement $9\;,\ -3$ et 5.
 
Déterminer le reste de la division de $P(x)$ par $(x-1)(x+5)(x-2)$ 
 
Sachant que $P(x)$ est du quatrième degré et qu'il est divisible par $x^{2}-9$, déterminer $P(x)$ ainsi que son quotient par $x^{3}+2x^{2}-13x+10$ 

Exercice 17

VRAI/FAUX
 
Parmi les 5 affirmations suivantes, dire celles qui sont vraies et celles qui sont fausses.
 
Si elles sont vraies, les démontrer, si elles sont fausses, donner un contrexemple.
 
1) Si une fonction polynôme est de degré 3, alors son carré est de degré 9.
 
2) Une fonction polynôme admet toujours une racine réelle.
 
3) La fonction polynôme $P$ définie par : $P(x)=x^{5}+x^{4}+7x+1$ n'a pas de racines positives.
 
4) Deux fonctions polynômes qui ont les mêmes racines sont égales.
 
5) Si $\alpha$ est une racine de deux fonctions polynômes $R$ et $S$, alors $R(x)-S(x)$ est factorisable par $(x-\alpha)$ 

Exercice 18

On considère la fonction polynôme $P$ définie par : $P(x)=x^{3}-5x^{2}+3x+1$ 
 
On note $\alpha\;,\ \beta\;,\ \gamma$ ses racines (si elles existent)
 
1) Écrire en fonction de $\alpha\;,\ \beta$ et $\gamma$ la forme totalement factorisée de $P(x)$
 
2) Déterminer la valeur des expressions suivantes :
$$\alpha+\beta+\gamma\;,\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\;,\ \alpha\beta\gamma\;,\ \dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}\;,\text{ et }\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}$$
 
3) Sachant que $\alpha=2-\sqrt{5}$ et $\beta=1$, calculer $\gamma.$

Exercice 19

Démontrer que $(x-2)^{2n}+(x-1)^{n}-1$ est divisible par $(x-1)(x-2)$ 
 
Déterminer le quotient pour $n\in\;\{1\;,\ 2\;,\ 3\}$ 

Exercice 20

Démontrer que $(x+1)^{2n}-x^{2n}2x-1$ est divisible par $x(x+1)(2x+1)$.
 
Déterminer le quotient pour $n\in\;\{2\;,\ 3\}$.

Exercice 21

Les restes respectifs des divisions d'un polynôme $P(x)$ par $(x-1)$ par $(x-1)$, par $(x+5)$, par $(x-2)$, sont $9\;,\ -39\;,\ 3.$
 
Déterminer $R(x)$, polynôme du second degré, tel que :
 
$P(x)=(x-1)(x+5)(x-2)Q(x)+R(x)$, où $Q(x)$ est un polynôme qu'on ne demande pas de déterminer.

Exercice 22

Soit $P(x)=2x^{4}-x^{3}-10x^{2}+3$
 
1) Déterminer un polynôme $Q(x)$, et un polynôme $R(x)$ du premier degré, tels que :
$$P(x)=(x^{2}-2x-1)Q(x)+R(x)$$
 
2) En déduire le quotient et le reste de la division de $P(x)$ par $(x-1-\sqrt{2})$ 
 
3) Déterminer $P(1-\sqrt{2})$

Exercice 23

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $1\;,\ a_{1}\;,\ a_{2}\;,\cdots\;,\ a_{n}$ $n$ nombres réels,
$b_{1}\;,\ b_{2}\;,\cdots b_{n}$ $n$ autres nombres réels.
 
On se propose de démontrer le résultat suivant :
 
Il existe un unique polynôme $P$ vérifiant les conditions suivantes :
 
$a)\quad deg\;(P)\leq n-1\;;\qquad b)\quad P(a_{1})=b_{1}\;,\ P(a_{2})=b_{2}\:,\cdots P(a_{n})=b_{n}$
 
Ce résultat s'appelle $\text{théorème de Lagrange}^{(\ast)}$.
 
1) On suppose qu'il existe deux polynômes $P$ et $Q$ vérifiant les conditions a) et b).
 
En raisonnant sur le degré et les racines du polynôme $(P-Q)$, démontrer que : $P-Q=0$ 
 
En conclure que, s'il existe un polynome qui satisfait les conditions a) et b), ce polynôme est unique.
 
2) Pour tout entier $i$ tel que $1\leq i\leq n$, on pose :
$$P_{i}(x)=\dfrac{(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots(x-a_{i-1})(x-a_{i+1})\cdots(x-a_{n})}{(a_{i}-a_{1})(a_{i}-a_{1})(a_{i}-a_{2})\cdots(a_{i}-a_{i-1})(a_{i}-a_{i+1})\cdots(a_{i}-a_{n})}$$
 
a) Vérifier que pour tout $i$ tel que $1\leq i\leq n-1$, $P_{i}$ est un polynôme de degré $n-1$.
 
Les polynômes $P_{i}$ sont appelés polynômes d'interpolation de Lagrange.
 
b) Vérifier que pour tout $i$ tel que $1\leq i\leq n-1$, on a :
 
$$P_{i}(a_{1})=P_{i}(a_{2})=\cdots P_{i}(a_{i-1})=P_{i}(a_{i+1})=\cdots P_{i}(a_{n})=0$ et $P_{i}(a_{i})=1$$
 
c) Démontrer que $P=b_{1}P_{1}+b_{2}P_{2}+\cdots+b_{n}P_{n}$ est un polynôme qui vérifie les conditions a) et b) du théorème de Lagrange.
 
3) Énoncer une conclusion.

Exercice 24

Résolution d'une équation du troisième degré
 
Le but du problème est la résolution de l'équation :
$$x^{3}+3x^{2}+15x-99=0\quad (E)$$
 
1) On se ramène à la résolution d'une équation de la forme :
 
$X^{3}+pX+q=0$
 
a) Trouver trois réels $a\;,\ p\;,\ q$, tels que pour tout $x$, 
$$x^{3}+3x^{2}+15x-99=(x+a)^{3}+p(x+a)+q$$ 
 
b) En posant $x+a=X$, vérifier que $X^{3}+12X-112=0$ 
 
2) On résout l'équation $X^{3}+12X-112=0\quad(E_{1})$ 
 
Pour cela, on pose $X=u+v$ 
 
a) Vérifier que $(u+v)^{3}=u^{3}+v^{3}+3uv(u+v)$ 
 
En déduire que :
 
Lorsque $X=u+v$, alors :
 
$X^{3}+12X-112=u^{3}+v^{3}+(3uv+12)(u+v)-112$ ; $X=u+v$ est une solution de l'équation $(E_{1})$
 
lorsque : $u^{3}+v^{3}=112$ et $u^{3}v^{3}=-64$ 
 
b) Trouver deux nombres $u$ et $v$ tels que : $u^{3}+v^{3}=112$ et $u^{3}v^{3}=-64$ 
 
Indication :
 
Poser $u^{3}=U$ et $v^{3}=V$ 
 
c) Résoudre l'équation $(E_{1})$ 
 
Indication :
 
Vérifier que $(2+2\sqrt{2})^{3}=56+40\sqrt{2}$.
 
d) Résoudre l'équation $(E).$
 
Note culturelle :
 
Réduire l'équation générale $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ à la forme $X^{3}+pX+q=0$ était une méthode connue par CARDAN(1501-1576), VIETE(1540-1603) et DESCARTES(1596-1650).
 
Les mathématiciens italiens de la Renaissance, en particulier TARTAGLIA (1500-1557) savaient résoudre $X^{3}+pX+q=0$, mais par une autre méthode que celle exposée à la question 2).

Exercice 25

Quel que soit l'entier $n\geq 5$, $n^{4}-20n^{2}+4$ n'est jamais un nombre premier.
 
Pour établir ce résultat, on propose la méthode suivante :
 
1) Soit $P(x)=x^{4}-20x^{2}+4$.
 
Vérifier que $P(x)=(x^{2}-2)^{2}-16x^{2}$ et en déduire une factorisation de $P$ sous la forme $A(x)B(x)$ où $A$ et $B$ sont des polynômes de degré 2 
 
2) Montrer que les équations $A(x)=1$ et $B(x)=1$ n'ont pas de solution dans $\mathbb{Z}.$
 
3) Conclure 

Exercice 26

Ce problème propose des calculs classiques sur les différences finies  de polynômes.
 
Pour toute fonction polynôme $P$, on pose, pour tout réel $x$
$$\Delta P(x)=P(x+1)-P(x)$$
 
1) Calculer $\Delta P(x)$ dans les cas suivants :
 
$a)\ P(x)=x^{3}\;;\qquad b)\ P(x)=x^{2}-4x+6\;;\qquad c)\ P(x)=2x+1$.
 
2) Vérifier que si $P$ est un polynôme quelconque et $\gamma$ un réel quelconque, $\Delta(\gamma P(x))=\gamma\Delta P(x)$
 
3) a) Dans cette question, $P$ est le polynôme de degré $n$, $n\geq 1$, défini par $P(x)=x^{n}$.
 
Montrer que $\Delta P$ est un polynôme de degré $n-1$, et que le terme de plus haut degré de $\Delta P$
est $nx^{n-1}.$
 
b) Déduire des questions 2) et 3).a) que si $P$ est un polynôme quelconque de degré $n$, alors $\Delta P$ est un polynôme de degré $n-1.$
 
4) On note $P_{0}$ et $P_{1}$ les polynômes respectivement définis par : $P_{0}(x)=1$ et $P_{1}(x)=x-1.$
 
a) Vérifier que $\Delta P_{1}=P_{0}.$
 
b) On se propose alors de trouver un polynôme $P_{2}$ tel que : $P_{2}(1)=0$ et $\Delta P_{2}=P_{1}.$
 
En supposant qu'il existe une telle fonction polynôme, prouver alors que nécessairement $P_{2}$ est de degré 2.
 
Calculer $\Delta P_{2}(1).$ Montrer alors que $P_{2}(2)=0$, puis que pour tout réel $x\;,\ P_{2}(x)=a(x-1)(x-2)$, avec $a$ réel.
 
Montrer que s'il existe un polynôme $P_{2}$ répondant à la question, alors
$$P_{2}(x)=\dfrac{1}{2}(x-1)(x-2)$$
 
Réciproquement, pour le polynôme $P_{2}$ trouvé, calculer $\Delta P_{2}$, puis conclure.
 
5) On veut trouver un polynôme $P_{3}$ de degré 3, tel que $P_{3}(1)=0$ et $\Delta P_{3}=P_{2}.$
 
En vous inspirant de la démarche suivie à la question 4, montrer qu'il existe un polynôme et un seul qui répond à la question, le polynôme
$$P_{3}(x)=\dfrac{1}{6}(x-1)(x-2)(x-6)$$
 
Note : Les polynômes $P_{0}\;,\ P_{1}\;,\ P_{2}\;,\ P_{3}\;,\cdots$ sont-appelés polynômes de NEWTON 
 
6) On pose $\Delta^{2} P(x)=\Delta(\Delta P)(x)$
 
a) Calculer $\Delta^{2} P(x)$, lorsque $P(x)=x^{2}.$
 
b) $P$ est le polynôme du second degré défini par :
 
$P(x)=ax^{2}+bx+c$
 
Calculer $P(1)\;,\ \Delta P(1)\;,\ \Delta^{2} P(1)$
 
Montrer alors que pour tout réel $x$
$$ P(x)=P(1)+\Delta P(1)(x-1)+\dfrac{\Delta^{2}P(1)}{2}(x-1)(x-2)$$
 
c) Utiliser ce qui précède pour trouver un polynôme $P$ de degré 2 tel que :
 
$P(1)=-1\;,\qquad P(2)=9\;,\qquad P(3)=21.$
 

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