BAC S SPECIALITE Nouvelle-Calédonie mars 2008

PARTIE A :  Question de coursQuelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l'addition, la multiplication et les puissances ? Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication. PARTIE BOn note 0, 1, 2, \ldots , 9,~$ \alpha,~\beta$, les chiffres de l'écriture d'un nombre en base $12$. Par exemple : \[\overline{\beta\alpha 7}^{12} = \beta \times 12^2 + \alpha \times 12 +  7 = 11 \times 12^2 + 10 \times 12 + 7 = 1\:711~\text{en base}~10\]          Soit $N_{1}$ le nombre s'écrivant en base 12 :         \[N_{1} = \overline{\beta1 \alpha}^{12}\] Déterminer l'écriture de $N_{1}$ en base 10.            Soit $N_{2}$ le nombre s'écrivant en base 10 : \[N_{2} = 1131 = 1\times 10^3  + 1\times 10^2 + 3 \times 10 + 1\] Déterminer l'écriture de $N_{2}$ en base $12$.             Dans toute la suite, un entier naturel $N$ s'écrira de manière générale en base 12 : \[N = \overline{a_{n}\cdots a_{1}a_{0}}^{12}\]          Démontrer que $N \equiv a_{0}\quad  (3)$. En déduire un critère de divisibilité par $3$ d'un nombre écrit en base 12.          À l'aide de son écriture en base $12$, déterminer si $N_{2}$ est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base $10$.                Démontrer que $N \equiv  a_{n} + \cdots + a_{1}+a_{0} \quad (11)$. En déduire un critère de divisibilité par $11$ d'un nombre écrit en base 12.          À l'aide de son écriture en base 12, déterminer si $N_{1}$ est divisible par $11$. Confirmer avec son écriture en base $10$.       Un nombre $N$ s'écrit $\overline{x4y}^{12}$.    Déterminer les valeurs de $x$ et de $y$ pour lesquelles $N$ est divisible par $33$.