BAC S SPECIALITE Nouvelle--Calédonie décembre 2000

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Dans tout l'exercice $x$ et $y$ désignent des entiers naturels non nuls vérifiant $x < y$.

S est l'ensemble des couples $(x,~y)$ tels que PGCD$(x,~y) = y - x$.


 
    
          Calculer le PGCD(363,~484).

         Le couple (363,~484) appartient-il à S ?

    

 Soit $n$ un entier naturel non nul ; le couple $(n,~n + 1)$ appartient-il à S ?

Justifier votre réponse.

 
    
         Montrer que $(x,~y)$ appartient à S si et seulement si il existe un entier naturel $k$ non nul tel que $x = k(y-x)$ et $y = (k+1)(y-x)$.

         En déduire que pour tout couple $(x,~ y)$ de S on a :

PPCM $(x,~y) = k(k + 1)(y - x).$

    


    
          Déterminer l'ensemble des entiers naturels diviseurs de 228.

         En déduire l'ensemble des couples $(x,~ y)$ de S tels que PPCM $(x,~ y) = 228$.